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如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F，且BC=BF，⊙O是△BEF的外接圆，连接BD．
（1）证明：△CAB≌△FEB；
（2）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）当AB=BE=2时，求⊙O的面积．

【考点】圆的综合题．

【答案】（1）证明见解析；（2）直线BD与⊙O相切．理由见解析；（3）（4+2

）π．

【解答】

【点评】

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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：244引用：3难度：0.3

相似题

1．阅读下列材料，并解答后面的问题．
在学习了直角三角形的边角关系后，小颖和小明两个学习小组继续探究任意锐角三角形的边角关系：在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c.

（1）小明学习小组发现如下结论：
如图1，过A作AD⊥BC于D，则sinB=
AD
c
，sinC=
AD
b
，即AD=csinB，AD=bsinC，于是
=
，即
b
sin
B
=
c
sin
C
，同理有
c
sin
C
=
a
sin
A
，
a
sin
A
=
b
sin
B
，
则有
a
sin
A
=
b
sin
B
=
c
sin
C
．
（2）小颖学习小组则利用圆的有关性质也得到了类似的结论：
如图2，△ABC的外接圆半径为R，连接CO并延长交⊙O于点D，连接DB，则∠D=∠A，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠DBC=90°，
在Rt△DBC中，
∵sinD=
BC
DC
=
a
2
R
，
∴sinA=
a
2
R
，即
a
sin
A
=2R，
同理：
b
sin
B
=2R，
c
sin
C
=2R，
则有
a
sin
A
=
b
sin
B
=
c
sin
C
=2R，
请你将这一结论用文字语言描述出来：
．
小颖学习小组在证明过程中略去了“
b
sin
B
=2R，
c
sin
C
=2R”的证明过程，请你把“
b
sin
B
=2R，”的证明过程补写出来．
（3）直接用前面阅读材料中得出的结论解决问题
规划局为了方便居民，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一座学校，使它到三个住宅小区的距离相等，已知小区C在小区B的正东方向
3
千米处，小区A在小区B的东北方向，且A与C之间相距
2
千米，求学校到三个小区的距离及小区A在小区C的什么方向？
发布：2025/5/25 6:30:1组卷：296引用：2难度：0.4
解析
2．有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等邻边互补四边形．
（1）如图1，在等邻边互补四边形ABCD中，AD=CD，且AD∥BC，BC=2AD，则∠B=
．
（2）如图2，在等邻边互补四边形ABCD中，∠BAD=90°，且BC=CD，求证：AB+AD=
2
AC．
（3）如图3，四边形ABCD内接于⊙O，连结DO并延长分别交AC，BC于点E，F，交⊙O于点G，若点E是AC的中点，
ˆ
AB
=
ˆ
BG
，tan∠ABC=
24
7
，AC=6，求FG的长．
发布：2025/5/25 6:30:1组卷：647引用：3难度：0.2
解析
3．【问题提出】
（1）如图1，在矩形ABCD中，AD=10，AB=12，点E为AD的中点，点P为矩形ABCD内以BC为直径的半圆上一点，则PE的最小值为
；
【问题探究】
（2）如图2，在△ABC中，AD为BC边上的高，且AD=BC=4，点P为△ABC内一点，当
S
△
PBC
=
1
2
S
△
ABC
时，求PB+PC的最小值；
【问题解决】
（3）李伯伯家有一块直角三角形菜园ABC，如图3，
BC
=
200
3
米，∠C=90°，∠ABC=60°，李伯伯准备在该三角形菜园内取一点P，使得∠APB=120°，并在△ABP内种植当季蔬菜，边BC的中点D为菜园出入口，为了种植方便，李伯伯打算在AC边上取点E，并沿PE、DE修两条人行走道，为了节省时间，要求人行走道的总长度（PE+DE）尽可能小，问PE+DE的长度是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．
发布：2025/5/25 7:0:2组卷：367引用：4难度：0.3
解析