已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=-3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．
①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；
②当|TF||PQ|最小时，求点T的坐标．
x
2
a
2
y
2
b
2
|
TF
|
|
PQ
|
【考点】直线与圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程．
【答案】（1）+=1．
（2）设T（-3，t），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为N（x0，y0），
①证明：由F（-2，0），可设直线PQ的方程为x=my-2，则PQ的斜率．
由
⇒（m2+3）y2-4my-2=0，
所以
，
于是，从而，
即，则直线ON的斜率，
又由PQ⊥TF知，直线TF的斜率，得t=m．
从而，即kOT=kON，
所以O，N，T三点共线，从而OT平分线段PQ，故得证．
②（-3，1）或（-3，-1）．
x
2
6
y
2
2
（2）设T（-3，t），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为N（x0，y0），
①证明：由F（-2，0），可设直线PQ的方程为x=my-2，则PQ的斜率
k
PQ
=
1
m
由
x = my - 2 |
x 2 6 + y 2 2 = 1 |
所以
Δ = 16 m 2 + 8 （ m 2 + 3 ） = 24 （ m 2 + 1 ） ＞ 0 |
y 1 + y 2 = 4 m m 2 + 3 |
y 1 • y 2 = - 2 m 2 + 3 |
于是
y
0
=
y
1
+
y
2
2
=
2
m
m
2
+
3
x
0
=
m
y
0
-
2
=
2
m
2
m
2
+
3
-
2
=
-
6
m
2
+
3
即
N
（
-
6
m
2
+
3
，
2
m
m
2
+
3
）
k
ON
=
-
m
3
又由PQ⊥TF知，直线TF的斜率
k
TF
=
t
-
0
-
3
+
2
=
-
1
k
PQ
=
-
1
1
m
从而
k
OT
=
t
-
3
=
-
m
3
=
k
ON
所以O，N，T三点共线，从而OT平分线段PQ，故得证．
②（-3，1）或（-3，-1）．
【解答】
【点评】
声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。
发布：2024/4/20 14:35:0组卷：2467引用：23难度：0.5
相似题
-
1．点P在以F1，F2为焦点的双曲线
（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O为坐标原点．E：x2a2-y2b2=1
（Ⅰ）求双曲线的离心率e；
（Ⅱ）过点P作直线分别与双曲线渐近线相交于P1，P2两点，且，OP1•OP2=-274，求双曲线E的方程；2PP1+PP2=0
（Ⅲ）若过点Q（m,0）（m为非零常数）的直线l与（2）中双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且（λ为非零常数），问在x轴上是否存在定点G，使MQ=λQN？若存在，求出所有这种定点G的坐标；若不存在，请说明理由．F1F2⊥（GM-λGN）发布：2024/12/29 10:0:1组卷：72引用：5难度：0.7 -
2．已知两个定点坐标分别是F1（-3，0），F2（3，0），曲线C上一点任意一点到两定点的距离之差的绝对值等于2
．5
（1）求曲线C的方程；
（2）过F1（-3，0）引一条倾斜角为45°的直线与曲线C相交于A、B两点，求△ABF2的面积．发布：2024/12/29 10:30:1组卷：103引用：1难度：0.9 -
3．若过点（0，-1）的直线l与抛物线y2=2x有且只有一个交点，则这样的直线有（ ）条．
发布：2024/12/29 10:30:1组卷：26引用：5难度：0.7
