对于平面直角坐标系xOy中的线段MN及点Q，给出如下定义：
若点Q满足QM=QN，则称点Q为线段MN的“中垂点”；当QM=QN=MN时，称点Q为线段MN的“完美中垂点”．
（1）如图1，A（4，0），下列各点中，线段OA的中垂点是 Q3（2，-2）Q3（2，-2）．
Q1（1，4），Q2（4，3），Q3（2，-2）
（2）如图2，点A为x轴上一点，若Q（1，3）为线段OA的“完美中垂点”，∠QOA=60°写出线段OQ的两个“完美中垂点”是 （2，0）（2，0）和 （-1，3）（-1，3）．
（3）如图3，若点A为x轴正半轴上一点，点Q为线段OA的“完美中垂点”，点P（0，m）在y轴负半轴上，在线段PA上方画出线段AP的“完美中垂点”M，直接写出MQ=-m-m．（用含m的式子表示）．并求出∠MQA．
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【考点】三角形综合题．
【答案】Q3（2，-2）；（2，0）；（-1，）；-m
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【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：228引用：2难度：0.3
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1．【问题呈现】某学校的数学社团成员在学习时遇到这样一个题目：
如图1，在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在DC的延长线上，过E作EF∥AB交AC的延长线于点F，当BD：DE=1时，试说明：AF+EF=AB；
【方法探究】
社团成员在研究探讨后，提出了下面的思路：
在图1中，延长线段AD，交线段EF的延长线于点M，可以用AAS明△ABD≌△MED，从而得到EM=AB…
（1）请接着完成剩下的说理过程；
【方法运用】
（2）在图1中，若BD：DE=k,则线段AF、EF、AB之间的数量关系为 （用含k的式子表示，不需要证明）；
（3）如图2，若AB=7，EF=6，AF=8，BE=12，求出BD的长；
【拓展提升】
（4）如图3，若DE=2BD，连接AE，已知AB=9，tan∠DAF=，AE=212，且AF＞EF，则边EF的长=．17
发布：2025/5/25 0:0:2组卷：320引用：4难度：0.2 -
2．【基础巩固】
（1）如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=∠ADB=∠BEC=90°，求证：△ADB≌△BEC．
【尝试应用】
（2）如图2，在（1）的条件下，连结AE，AE=AC=10，求DE的长．
【拓展提高】
（3）如图3，在Rt△ABC中，D，E分别在直角边AB，BC上，AD=2DB=2CE，2∠BAC+∠BED=135°，求tan∠BAC．
发布：2025/5/25 6:0:1组卷：1031引用：2难度：0.1 -
3．如图，OC为∠AOB的角平分线，∠AOB=α（0°＜α＜180°），点D为射线OA上一点，点M，N为射线OB上两个动点且满足MN=OD，线段ON的垂直平分线交OC于点P，交OB于点Q，连接DP，MP．
（1）如图1，若α=90°时，线段DP与线段MP的数量关系为 ．
（2）如图2，若α为任意角度时，（1）中的结论是否变化，请说明理由；
（3）如图3，若α=60°时，连接DM，请直接写出的最小值．DMON发布：2025/5/25 1:0:1组卷：92引用：2难度：0.1
