【问题背景】在学完菱形的知识之后，小彬对菱形进行了研究：如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是射线AC上一点，F是BC的延长线上一点，且CF=AE，连接BE，EF．
【问题发现】（1）如图1，当E是对角线AC的中点时，小彬发现有：BE=EF．请你证明他的发现是正确的．
【类比探究】（2）如图2，若E是对角线AC上任意一点时，问题（1）中的结论是否还成立？请说明理由．
【拓展应用】（3）如图3，若E是线段AC延长线上任意一点，连接AF，其他条件不变，∠1=30°，AB=2，请求出AF的长度．
【考点】四边形综合题．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．
2
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【解答】
【点评】
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发布：2024/7/5 8:0:9组卷：104引用：2难度：0.5
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1．如图，正方形ABCD中，P是对角线BD上一点，连接AP，将AP绕点A逆时针旋转90°到AQ．PQ与AD，BC分别交于点E，F．
（1）求证：AD平分∠PDQ．
（2）若BP=2，BC=4，求DE的长，2
（3）当=BPBD时，14=．（只写结果）BFBC发布：2025/5/24 14:30:1组卷：24引用：1难度：0.1 -
2．过四边形ABCD的顶点A作射线AM，P为射线AM上一点，连接DP．将AP绕点A顺时针方向旋转至AQ，记旋转角∠PAQ=α，连接BQ．
（1）【探究发现】如图1，数学兴趣小组探究发现，如果四边形ABCD是正方形，且α=90°．无论点P在何处，总有BQ=DP，请证明这个结论．
（2）【类比迁移】如图2，如果四边形ABCD是菱形，∠DAB=α=60°，∠MAD=15°，连接PQ．当PQ⊥BQ，AB=时，求AP的长；6+2
（3）【拓展应用】如图3，如果四边形ABCD是矩形，AD=6，AB=8，AM平分∠DAC，α=90°．在射线AQ上截取AR，使得AR=AP．当△PBR是直角三角形时，请直接写出AP的长．43发布：2025/5/24 15:30:1组卷：2630引用：11难度：0.2 -
3．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D，E，分别在CA，BC的延长线且AD=CE，过点C作CF⊥DE，垂足为F，FC的延长线交AB的延长线于点G．
（1）求证：∠BCG=∠CDE；
（2）①在图中找出与CG相等的线段，并证明；
②探究线段AG、BG、DE之间的数量关系（直接写出）；
（3）若AG=kBG，求的值（用含k的代数式表示）．DFEF发布：2025/5/24 14:30:1组卷：510引用：2难度：0.3
