设f（x）是定义在[0，1]上的函数，若存在x*∈（0，1）使得f（x）在[0，x*]上单调递增，
在[x*，1]上单调递减，则称f（x）为[0，1]上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为f（x）的含峰区间．
（1）判断下列函数是否为[0，1]上的单峰函数：
①f（x）=x4x2+1，x∈[0，1]； ②f（x）=2x2-x+1，x∈[0，1]；
③f（x）=log12（|x-13|+1），x∈[0，1]； ④f（x）=（14-x）4，x∈[0，1]；
对任意的[0，1]上的单峰函数f（x），下面研究缩短其含峰区间长度l（区间长度l等于区间的右端点与左端点之差）；
（2）证明：对任意的x1，x2∈（0，1），x1＜x2，若f（x1）≥f（x2），则（0，x2）为含峰区间，若f（x1）≤f（x2），则（x1，1）为含峰区间；
（3）对给定的r（0＜r＜0.5），证明：存在x1，x2∈（0，1），满足x2-x1≥2r,使得由（2）所确定的含峰区间的长度不大于0.5+r.
f
（
x
）
=
x
4
x
2
+
1
f
（
x
）
=
2
x
2
-
x
+
1
f
（
x
）
=
lo
g
1
2
（
|
x
-
1
3
|
+
1
）
f
（
x
）
=
（
1
4
-
x
）
4
【考点】函数与方程的综合运用．
【答案】（1）①③；
（2）证明见解析；
（3）证明见解析．
（2）证明见解析；
（3）证明见解析．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：222引用：2难度：0.1
