【课本再现】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．我们知道：如图1，如果BCAC=ACAB，那么称点C为线段AB的黄金分割点．
（1）【问题发现】如图1，请直接写出CB与AC的比值是 5-125-12；
（2）【尺规作黄金分割点】如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，则AB=55，在BA上截取BD=BC，则AD=5-15-1，在AC上截取AE=AD，则AEAC的值为 5-125-12；
（3）【问题解决】如图3，用边长为4的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABDE得折痕MN，连接EN，点A对应点H，点H在EN上，得折痕CE，试说明：C是AB的黄金分割点；
（4）【拓展延伸】如图4，正方形ABCD中，M为对角线BD上一点，点N在边CD上，且CN＜DN，当N为CD的黄金分割点时，∠AMB=∠ANB，连NM，延长NM交AD于E，请用相似的知识求出AE：DE的值为 5+3525+352．
BC
AC
=
AC
AB
5
-
1
2
5
-
1
2
5
5
5
-
1
5
-
1
AE
AC
5
-
1
2
5
-
1
2
5
+
3
5
2
5
+
3
5
2
【考点】相似形综合题．
【答案】；；；；
5
-
1
2
5
5
-
1
5
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1
2
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+
3
5
2
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：444引用：1难度：0.1
相似题
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1．如图，在矩形ABCD中，tan∠ABD=
，E是边DC上一动点，F是线段DE延长线上一点，且∠EAF=∠ABD，AF与矩形对角线BD交于点G．34
（1）当点F与点C重合时，如果AD=6，求DE的长；
（2）当点F在线段DC的延长线上，
①求的值；AGAE
②如果DE=3CF，求∠AED的余切值．
发布：2025/5/24 2:30:1组卷：479引用：1难度：0.2 -
2．[问题情境]
（1）王老师给爱好学习的小明和小颖提出这样一个问题：如图①，在△ABC中，AB=AC，P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE=CF．
小明的证明思路是：
如图②，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．
小颖的证明思路是：
如图②，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：PD=GF，PE=CG，则PD+PE=CF．
请你选择小明、小颖两种证明思路中的任意一种，写出详细的证明过程．
[变式探究]（2）如图③，当点P在BC延长线上时，问题情境中，其余条件不变，求证：PD-PE=CF．
[结论运用]（3）如图④，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C'处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE，PH⊥BG，垂足分别为G，H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值．
[迁移拓展]（4）图⑤是一个机器模型的截面示意图，在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D，C，且AD•CE=DE•BC，AB=2cm,AD=3cm,BD=13cm,MN分别为AE，BE的中点，连接DM，CN，请直接写出△DEM与△CEN的周长之和．37
发布：2025/5/24 0:30:1组卷：278引用：1难度：0.1 -
3．如图，矩形ABCD中AB=10，AD=6，点E为AB边上的动点（不与A，B重合），把△ADE沿DE翻折，点A的对应点为G，延长EG交直线DC于点F，再把△BEH沿EH翻折，使点B的对应点T落在EF上，折痕EH交直线BC于点H．
（1）求证：△GDE∽△TEH；
（2）若点G落在矩形ABCD的对称轴上，求AE的长；
（3）是否存在点T落在DC边上？若存在，求出此时AE的长度，若不存在，请说明理由．发布：2025/5/24 4:30:1组卷：599引用：3难度：0.3
