如图1，在平行四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，AE⊥AB，AE，BC的延长线交于点F，在线段BF上取点M，N（点M在B，N之间），使得BM=FN=18MN．当点P从M匀速运动到点N处时，点Q恰好从点F匀速运动到点A处．连结AP．设MP=x,AQ=y,已知y=-x+8．
（1）求BF，AF的长．
（2）当PQ⊥BC时（如图2），求△FPQ的周长．
（3）若AB=6，①当△APQ是以AP为腰的等腰三角形时，求x的值．
②将PQ绕点Q顺时针旋转90°得线段P′Q，若点P′落在四边形ABCD的内部，请直接写出x的取值范围．
1
8
【考点】四边形综合题．
【答案】（1）BF=10；AF=8；
（2）12；
（3）①x=或；
②＜x＜．
（2）12；
（3）①x=
19
6
32
13
②
7
2
13
2
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：198引用：1难度：0.4
相似题
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1．如图，点E，F分别在正方形ABCD的边CD，BC上，且DE=CF，点P在射线BC上（点P不与点F重合）．将线段EP绕点E顺时针旋转90°得到线段EG，过点E作GD的垂线QH，垂足为点H，交射线BC于点Q．
（1）如图1，若点E是CD的中点，点P在线段BF上，
①PQ=；
②线段BP，QC，EC的数量关系为 ．
（2）如图2，若点E不是CD的中点，点P在线段BF上，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）正方形ABCD的边长为9，DE=DC，QC=2，请直接写出线段BP的长．13
发布：2025/5/25 3:30:2组卷：544引用：4难度：0.4 -
2．背景阅读：
早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”．它被记载与我国古代著名数学著作《周髀算经》中，为了方便，在本题中，我们把三边的比为3：4：5的三角形称为（3，4，5）型三角形，例如：三边长分别为9，12，15或的三角形就是（3，4，5）型三角形，用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形．32，42，52
实践操作：
如图1，在矩形纸片ABCD中，AD=8cm,AB=12cm.
第一步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在AB上的点E处，折痕为AF，再沿EF折叠，然后把纸片展平．
第二步：如图3，将图2中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为GH，然后展平，隐去AF．
第三步：如图4，将图3中的矩形纸片沿AH折叠，得到△AD′H，再沿AD′折叠，折痕为AM，AM与折痕EF交于点N，然后展平．
问题解决：
（1）请在图4中判断NF与ND′的数量关系，并加以证明；
（2）请在图4中证明△AEN（3，4，5）型三角形；
探索发现：
（3）在不添加字母的情况下，图4中还有哪些三角形是（3，4，5）型三角形？请找出并直接写出它们的名称．发布：2025/5/25 2:0:6组卷：183引用：4难度：0.1 -
3．在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．
（1）△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一点，且AE=1，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图1．求CF的长；
（2）△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一个动点，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图2．在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；
（3）△ABC是边长为3的等边三角形，M是高CD上的一个动点，小亮以BM为边作等边三角形BMN，如图3．在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长；
（4）正方形ABCD的边长为3，E是边CB上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形BFGH，其中点F、G都在直线AE上，如图4．当点E到达点B时，点F、G、H与点B重合．则点H所经过的路径长为，点G所经过的路径长为．发布：2025/5/25 2:30:1组卷：3595引用：2难度：0.2
