数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．
在正方形ABCD中，点E是射线AB上一个动点，连接DE，将线段DE绕点E顺时针旋转90°到EF的位置，连接BF．
（1）如图1．点E在线段AB上．
①已知AE=1，求点F到直线AB的距离；
②直接写出：∠FBN=4545°；
③连接DF，点M为DF的中点，若正方形ABCD的边长为18，直接写出：在点E从点A运动到点B的过程中，点M所经过的路径长为 33；
（2）当点E在点B的右侧，且点P在DA的延长线上时，存在某一位置使四边形CPEF为菱形．
①请在图2中画出示意图；
②若正方形的边长为6，求出此时DP的长．
18
【考点】四边形综合题．
【答案】45；3
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：81引用：2难度：0.3
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1．将正方形ABCD绕点A逆时针旋转α°到正方形AEFG．
（1）如图1，当0°＜α＜90°时，EF与CD相交于点H．求证：DH=EH；
（2）如图2，当0°＜α＜90°，点F、D、B正好共线时，
①求∠AFB度数；
②若正方形ABCD的边长为1，求CH的长：
（3）连接DE，EC，FC．如图3，正方形AEFG在旋转过程中，是否存在实数m使AE2=DE2+mFC2-EC2总成立？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
发布：2025/6/8 13:30:1组卷：67引用：1难度：0.2 -
2．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=8，E在AD上，DE=3，点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着BC边向终点C运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒．
（1）过P作PF⊥AD，垂足为F，用含t的式子表示：EF=，PC=；
（2）当t=2时，判断△PEC是否是直角三角形，并说明理由；
（3）当∠PEC=∠DEC时，求t的值．发布：2025/6/8 12:30:1组卷：43引用：3难度：0.4 -
3．定义：四边形ABCD中，将对角线AC和BD的平方和，即AC2+BD2的值称为四边形ABCD的“特征数”．
（1）①在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=60°，则菱形ABCD的“特征数”=；
②正方形EFGH的“特征数”等于16，则边长=；
（2）平行四边形ABCD中，AB=a,BC=b,试证明：平行四边形ABCD的“特征数”为2a2+2b2；
（3）利用（2）的结论解决下列问题：
平行四边形ABCD中，，BC=6，且AC⋅BD=60，AC＜BD，试求AC和BD的长度．AB=42
发布：2025/6/8 15:0:1组卷：373引用：3难度：0.2
