已知函数f（x）=
e
x
-
a
x
-lnx+ln（a+1）（a＞0）（e是自然对数的底数）．
（1）当a=1时，试判断f（x）在（1，+∞）上极值点的个数；
（2）当a＞
1
e
-
1
时，求证：对任意x＞1，f（x）＞
1
a
．

【答案】（1）f（x）在（1，+∞）上只有一个极值点，即唯一极小值点；
（2）证明过程见解答．

【解答】

【点评】

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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：242引用：4难度：0.2

相似题

1．已知函数f（x）=（x-a）lnx（a∈R），它的导函数为f'（x）．
（1）当a=1时，求f'（x）的零点；
（2）若函数f（x）存在极小值点，求a的取值范围．
发布：2024/12/29 13:0:1组卷：279引用：8难度：0.4
解析
2．若函数
f
（
x
）
=
e
2
x
4
-
ax
e
x
有两个极值点，则实数a的取值范围为（　　）
A．
（
-
∞
，-
1
2
）
B．
（
-
1
2
，
0
）
C．
（
1
2
，
+
∞
）
D．
（
0
，
1
2
）
发布：2024/12/29 13:30:1组卷：123引用：4难度：0.5
解析
3．定义：设f'（x）是f（x）的导函数，f″（x）是函数f'（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心，已知函数
f
（
x
）
=
a
x
3
+
b
x
2
+
5
3
（
ab
≠
0
）
的对称中心为（1，1），则下列说法中正确的有（　　）
A．
a
=
1
3
，b=-1
B．函数f（x）既有极大值又有极小值
C．函数f（x）有三个零点
D．过
（
-
1
，
1
3
）
可以作两条直线与y=f（x）图像相切
发布：2024/12/29 13:30:1组卷：181引用：7难度：0.5
解析

已知函数f（x）=ex-ax-lnx+ln（a+1）（a＞0）（e是自然对数的底数）．（1）当a=1时，试判断f（x）在（1，+∞）上极值点的个数；（2）当a＞1e-1时，求证：对任意x＞1，f（x）＞1a．