已知抛物线C：y=a（x-m）2+2m+2（a＜0）与x轴交于点A和点B，顶点为点P．
（1）求证：无论m为何值，顶点P一定在一条直线上；
（2）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为“整点”，
①若m=1，抛物线与x轴围成的区域内（不含边界），整点的个数为7个，求a的取值范围；
②A（-1，0），B（n,0），点P在第一象限，点O为坐标原点，连接OP，PB，△OBP内（不含边界）有2个整点，求tan∠POB的取值范围．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）证明解解答过程；
（2）①-2＜a≤-1；
②．
（2）①-2＜a≤-1；
②
14
3
≤
tan
∠
POB
＜
6
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：278引用：1难度：0.3
相似题
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1．在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y=
x2-12x-2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．32
（1）若抛物线L2经过点（2，-12），求L2对应的函数表达式；
（2）当BP-CP的值最大时，求点P的坐标；
（3）设点Q是抛物线L1上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若△DPQ与△ABC相似，求其“共根抛物线”L2的顶点P的坐标．
发布：2025/5/26 11:30:1组卷：3535引用：7难度：0.1 -
2．已知关于x的抛物线的解析式为y=x2-2ax+a2+2a+1．
（1）当a=1时，求抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）若抛物线与直线x=3交于点A，求点A到x轴的距离最小值；
（3）证明：不论a取何值时，抛物线的顶点都在直线y=2x+1上；
（4）直线y=2x+1与该抛物线相交，求抛物线在这条直线上所截线段的长度．发布：2025/5/26 11:30:1组卷：300引用：1难度：0.3 -
3．在平面直角坐标系中，已知抛物线
（a为常数，且a≠0）经过点A（2，m）、B（2a,n），设此抛物线在A和B之间（包括A、B两点）的部分为图象G．y=1ax2-2x-1
（1）当a=2时，抛物线的顶点坐标为 ．
（2）m=；n=．
（3）当此抛物线的顶点在图象G上时．
①直接写出a的取值范围．
②当图象G对应函数值的最小值为-6时，求a的值以及此时图象G最高点的坐标．
（4）设点P（2a,-3-2a），以PB为边作正方形PBMN，其中MN和y轴在PB的同侧，若图象G在正方形PBMN内部的图象中，y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出a的取值范围．发布：2025/5/26 11:30:1组卷：187引用：2难度：0.3
