问题：如图（1），在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=CB，∠DCE=45°，试探究AD、DE、EB满足的等量关系．
【探究发现】小聪同学利用图形变换，将△CAD绕点C逆时针旋转90°得到△CBF，连接EF，由已知条件易得∠EBF=90°，∠ECF=∠ECB+∠BCF=∠ECB+∠ACD=45°．根据“边角边”，可证△CEF≌△CED△CED，得EF=ED．在Rt△FBE中，由 勾股勾股定理，可得BF2+EB2=EF2，由BF=AD，可得AD、DE、EB之间的等量关系是 AD2+BE2=DE2AD2+BE2=DE2．
【实践运用】
（1）如图（2），在正方形ABCD中，△AEF的顶点E、F分别在BC、CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数；
（2）在（1）条件下，连接BD，分别交AE、AF于点M、N，若BE=2，DF=3，BM=322，运用小聪同学探究的结论，求正方形的边长及MN的长．
3
2
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【考点】四边形综合题．
【答案】△CED；勾股；AD2+BE2=DE2
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：821引用：2难度：0.3
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1．将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（3，0），点C（0，6），点P在矩形的边OC上，折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且∠OPQ=30°，点O的对应点O'落在第一象限．设O′Q=t.
（Ⅰ）如图①，当t=1时，求∠O′QA的大小和点O′的坐标；
（Ⅱ）如图②，若折叠后重合部分为四边形，O′Q，O'P分别与边AB相交于点E，F，试用含有t的式子表示重叠部分的面积S，并写出t的取值范围；
（Ⅲ）当折痕PQ恰好过点A时，求折叠后重合部分的面积 ．发布：2025/5/23 17:0:1组卷：311引用：1难度：0.1 -
2．如图，在△ABC中，∠ABC=30°，AB=AC，点O为BC的中点，点D是线段OC上的动点（点D不与点O，C重合），将△ACD沿AD折叠得到△AED，连接BE．
（1）当AE⊥BC时，∠AEB=°；
（2）探究∠AEB与∠CAD之间的数量关系，并给出证明；
（3）设AC=4，△ACD的面积为x,以AD为边长的正方形的面积为y,求y关于x的函数解析式．
发布：2025/5/23 17:30:1组卷：977引用：7难度：0.5 -
3．【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D，E分别在AB，BC上，∠BDE=∠C，求证：BD⋅BA=BE⋅BC．
【尝试应用】（2）如图2，在△ABC中，D，E，F分别在AB，BC，CA上，四边形ADEF为平行四边形，∠DFE=∠C，AD=4，BD=2，求AC的长．
【拓展提高】（3）如图3，平行四边形ABCD的周长为10，E，G分别在AC，AD上，四边形ECFG为平行四边形，CE=4AE，∠B=2∠CEF=2∠AGE，求EF的长．
发布：2025/5/23 17:30:1组卷：334引用：1难度：0.3
