我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AB=AC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D已滑动到点D'的位置，且A，B，D′三点共线，AD′=40cm,B为AD′中点．当∠BAC=140°时，伞完全张开．
（1）求AB的长．
（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离．
（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
【考点】解直角三角形的应用．
【答案】见试题解答内容
【解答】
【点评】
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发布：2025/5/25 23:30:1组卷：2237引用：12难度：0.5
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1．图1是小明家电动单人沙发的实物图，图2是该沙发主要功能介绍，其侧面示意图如图3所示．沙发通过开关控制，靠背AB和脚托CD可分别绕点B，C旋转调整角度．“n°某某”模式时，表示∠ABC=n°，如“140°看电视”模式时∠ABC=140°．已知沙发靠背AB长为50cm,坐深BC长为54cm,BC与地面水平线平行，脚托CD长为40cm,∠DCD'=∠ABC-80°，初始状态时CD⊥BC．
（1）求“125°阅读”模式下∠DCD'的度数．
（2）求当该沙发从初始位置调至“125°阅读”模式时，点D运动的路径长．
（3）小明将该沙发调至“150°听音乐”模式时，求点A，D′之间的水平距离（精确到个位）．（参考数据：≈1.7，sin70°≈0.9，cos70°≈0.3）3
发布：2025/5/26 4:0:1组卷：373引用：4难度：0.6 -
2．图1是淘宝上常见的“懒人桌”，其主体由一张桌面以及两根长度相等的支架组成，支架可以通过旋转收拢或打开，图2是其打开示意图，经操作发现，当∠ADC=∠BCD≥90°时，可稳定放置在水平地面上，经测量，AD=BC=30cm,CD=40cm.
（1）当其完全打开且置于水平地面上时，测得∠ADC=140°，求AB距离；
（2）在（1）的基础上，若要在该桌上办公，已知眼睛与桌面的垂直距离以30cm为佳，实际办公时，眼睛与桌面的垂直距离为34.8cm,若保持身体不动，通过旋转支架AD以及BC抬高桌面，则A点应向内移动多少厘米，才能达到最佳距离？
（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
发布：2025/5/26 4:0:1组卷：310引用：4难度：0.5 -
3．某数学研究小组对武山住房窗户“设计遮阳篷”这一课题进行了探究，过程如下：
问题提出：如图1是某住户窗户上方安装的遮阳篷，要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．
方案设计：如图2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面AC的遮阳篷CD；
数据收集：通过查阅相关资料和实际测量：武山一年中，夏至这一天的正午时刻，太阳光线DA与遮阳篷CD的夹角∠ADC最大（∠ADC=60°）；冬至这一天的正午时刻，太阳光线DB与遮阳篷CD的夹角∠BDC最小（∠BDC=30°）；窗户的高度AB=2m.
问题解决：根据上述方案及数据，求遮阳篷CD的长．
发布：2025/5/26 4:30:1组卷：78引用：2难度：0.5
