设函数f（x）=x²-a（x+alnx）（a≠0）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a＞0时，若f（x）的最小值为0，证明：
2
1
2
+
3
2
2
+…+
n
+
1
n
2
＞ln（n+1）（n∈N*）．

【答案】（1）当a＜0时，f（x）在（0，

）上单调递减，在

（

，

∞

）

上单调递增；当a＞0时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增；
（2）证明见解答．

【解答】

【点评】

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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：176引用：3难度：0.5

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1．已知函数
f
（
x
）
=
ln
2
+
x
2
-
x
+
1
，若关于x的不等式
f
（
k
e
x
）
+
f
（
-
1
2
x
）
＞
2
对任意x∈（0，2）恒成立，则实数k的取值范围（　　）
A．（
1
2
e
，+∞） B．（
1
2
e
，
2
e
2
） C．（
1
2
e
，
2
e
2
] D．（
2
e
2
，1]
发布：2025/1/5 18:30:5组卷：296引用：2难度：0.4
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2．已知函数f（x）=ax³+x²+bx（a,b∈R）的图象在x=-1处的切线斜率为-1，且x=-2时，y=f（x）有极值．
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（2）求f（x）在[-3，2]上的最大值和最小值．
发布：2024/12/29 12:30:1组卷：47引用：4难度：0.5
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3．已知函数f（x）=
e
x
-
a
x
2
1
+
x
．
（1）若a=0，讨论f（x）的单调性．
（2）若f（x）有三个极值点x₁，x₂，x₃．
①求a的取值范围；
②求证：x₁+x₂+x₃＞-2．
发布：2024/12/29 13:0:1组卷：187引用：2难度：0.1
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设函数f（x）=x2-a（x+alnx）（a≠0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＞0时，若f（x）的最小值为0，证明：212+322+…+n+1n2＞ln（n+1）（n∈N*）．