已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为4,且点(1,32)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设P是椭圆C长轴上的一个动点,过P作斜率为12的直线l交椭圆C于A、B两点,求证:|PA|2+|PB|2为定值.
3
2
1
2
【答案】(1)+y2=1.
(2)证明:设P(m,0)(-2≤m≤2),由已知,直线l的方程是y=,
由
,消去y得,2x2-2mx+m2-4=0,(*)
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1、x2是方程(*)的两个根,
所以有,x1+x2=m,x1x2=,
所以,|PA|2+|PB|2=(x1-m)2++(x2-m)2+
=(x1-m)2+(x1-m)2+(x2-m)2+(x2-m)2
=[(x1-m)2+(x2-m)2]
=[+-2m(x1+x2)+2m2]
=[(x1+x2)2-2m(x1+x2)-2x1x2+2m2]
=[m2-2m2-(m2-4)+2m2]=5(定值).
所以,|PA|2+|PB|2为定值.
x
2
4
(2)证明:设P(m,0)(-2≤m≤2),由已知,直线l的方程是y=
x
-
m
2
由
y = 1 2 x - 1 2 m |
x 2 4 + y 2 = 1 |
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1、x2是方程(*)的两个根,
所以有,x1+x2=m,x1x2=
m
2
-
4
2
所以,|PA|2+|PB|2=(x1-m)2+
y
2
1
y
2
2
=(x1-m)2+
1
4
1
4
=
5
4
=
5
4
x
2
1
x
2
2
=
5
4
=
5
4
所以,|PA|2+|PB|2为定值.
【解答】
【点评】
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