已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点（1，32）在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作斜率为12的直线l交椭圆C于A、B两点，求证：|PA|2+|PB|2为定值．
3
2
1
2
【答案】（1）+y2=1．
（2）证明：设P（m，0）（-2≤m≤2），由已知，直线l的方程是y=，
由
，消去y得，2x2-2mx+m2-4=0，（*）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程（*）的两个根，
所以有，x1+x2=m，x1x2=，
所以，|PA|2+|PB|2=（x1-m）2++（x2-m）2+
=（x1-m）2+（x1-m）2+（x2-m）2+（x2-m）2
=[（x1-m）2+（x2-m）2]
=[+-2m（x1+x2）+2m2]
=[（x1+x2）2-2m（x1+x2）-2x1x2+2m2]
=[m2-2m2-（m2-4）+2m2]=5（定值）．
所以，|PA|2+|PB|2为定值．
x
2
4
（2）证明：设P（m，0）（-2≤m≤2），由已知，直线l的方程是y=
x
-
m
2
由
y = 1 2 x - 1 2 m |
x 2 4 + y 2 = 1 |
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程（*）的两个根，
所以有，x1+x2=m，x1x2=
m
2
-
4
2
所以，|PA|2+|PB|2=（x1-m）2+
y
2
1
y
2
2
=（x1-m）2+
1
4
1
4
=
5
4
=
5
4
x
2
1
x
2
2
=
5
4
=
5
4
所以，|PA|2+|PB|2为定值．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：297引用：3难度：0.3
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