已知平面上的动点P（x,y）及两定点A（-2，0），B（2，0），直线PA，PB的斜率分别是k1，k2且k1•k2=-14．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）设直线l：y=kx+m与曲线C交于不同的两点M，N．
①若OM⊥ON（O为坐标原点），证明点O到直线l的距离为定值，并求出这个定值
②若直线BM，BN的斜率都存在并满足kBM•kBN=-14，证明直线l过定点，并求出这个定点．
k
1
•
k
2
=
-
1
4
k
BM
•
k
BN
=
-
1
4
【答案】（1）动点P的轨迹C的方程是；
（2）证明：设点M（x1，y1），N（x2，y2），联立
，化为（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，
∴Δ=64k2m2-16（m2-1）（1+4k2）=16（1+4k2-m2）＞0．
∴，．
∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=，
①若OM⊥ON，则x1x2+y1y2=0，∴，
∴，化为，此时点O到直线l的距离d=．
②∵kBM•kBN=-，∴•=-，
∴x1x2-2（x1+x2）+4+4y1y2=0，
∴+，
代入化为，化简得m（m+2k）=0，解得m=0或m=-2k．
当m=0时，直线l恒过原点；
当m=-2k时，直线l恒过点（2，0），此时直线l与曲线C最多有一个公共点，不符合题意，
综上可知：直线l恒过定点（0，0）．
x
2
4
+
y
2
=
1
（
x
≠±
2
）
（2）证明：设点M（x1，y1），N（x2，y2），联立
y = kx + m |
x 2 + 4 y 2 = 4 |
∴Δ=64k2m2-16（m2-1）（1+4k2）=16（1+4k2-m2）＞0．
∴
x
1
+
x
2
=
-
8
km
1
+
4
k
2
x
1
x
2
=
4
m
2
-
4
1
+
4
k
2
∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=
k
2
x
1
x
2
+
km
（
x
1
+
x
2
）
+
m
2
①若OM⊥ON，则x1x2+y1y2=0，∴
（
1
+
k
2
）
x
1
x
2
+
km
（
x
1
+
x
2
）
+
m
2
=
0
∴
（
1
+
k
2
）
（
4
m
2
-
4
）
1
+
4
k
2
-
8
k
2
m
2
1
+
4
k
2
+
m
2
=
0
m
2
=
4
5
（
1
+
k
2
）
|
m
|
1
+
k
2
=
2
5
5
②∵kBM•kBN=-
1
4
y
1
x
1
-
2
y
2
x
2
-
2
1
4
∴x1x2-2（x1+x2）+4+4y1y2=0，
∴
x
1
x
2
-
2
（
x
1
+
x
2
）
+
4
+
4
k
2
x
1
x
2
4
km
（
x
1
+
x
2
）
+
4
m
2
=
0
代入化为
4
m
2
-
4
-
8
km
（
4
km
-
2
）
1
+
4
k
2
+
4
m
2
+
4
=
0
当m=0时，直线l恒过原点；
当m=-2k时，直线l恒过点（2，0），此时直线l与曲线C最多有一个公共点，不符合题意，
综上可知：直线l恒过定点（0，0）．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：641引用：5难度：0.5
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