某公司全年圆满完成预定的生产任务，为答谢各位员工一年来的锐意进取和辛勤努力，公司决定在联欢晚会后，拟通过摸球兑奖的方式对500位员工进行奖励，规定：每位员工从一个装有4种面值的奖券的箱子中，一次随机摸出2张奖券，奖券上所标的面值之和就是该员工所获得的奖励额．
（1）若箱子中所装的4种面值的奖券中有1张面值为80元，其余3张均为40元，试比较员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率的大小；
（2）公司对奖励总额的预算是6万元，预定箱子中所装的4种面值的奖券有两种方案：第一方案是2张面值20元和2张面值100元；第二方案是2张面值40元和2张面值80元．为了使员工得到的奖励总额尽可能地符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡，请问选择哪一种方案比较好？并说明理由．
【答案】（1）相等；
（2）第二种方案．
第一种方案为（20，20，100，100），
设员工所获得的奖励额为X1，则X1的分布列为
所以X1的数学期望为，
X1的方差为；
第二种方案为（40，40，80，80），
设员工所获得的奖励额为X2，则X2的分布列为
所以X2的数学期望为，
X2的方差为，
又因为500E（X1）=500E（X2）=60000（元），
所以两种方案奖励额的数学期望都符合要求，但第二种方案的方差比第一种方案的小，
（2）第二种方案．
第一种方案为（20，20，100，100），
设员工所获得的奖励额为X1，则X1的分布列为
| X1 | 40 | 120 | 200 |
| P | 1 6 |
2 3 |
1 6 |
E
（
X
1
）
=
40
×
1
6
+
120
×
2
3
+
200
×
1
6
=
120
X1的方差为
D
（
X
1
）
=
（
40
-
120
）
2
×
1
6
+
（
120
-
120
）
2
×
2
3
+
（
200
-
120
）
2
×
1
6
=
6400
3
第二种方案为（40，40，80，80），
设员工所获得的奖励额为X2，则X2的分布列为
| X2 | 80 | 120 | 160 |
| P | 1 6 |
2 3 |
1 6 |
E
（
X
2
）
=
80
×
1
6
+
120
×
2
3
+
160
×
1
6
=
120
X2的方差为
D
（
X
2
）
=
（
80
-
120
）
2
×
1
6
+
（
120
-
120
）
2
×
2
3
+
（
160
-
120
）
2
×
1
6
=
1600
3
又因为500E（X1）=500E（X2）=60000（元），
所以两种方案奖励额的数学期望都符合要求，但第二种方案的方差比第一种方案的小，
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：290引用：6难度：0.5
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