如果两个椭圆的离心率相等，那么就称这两个椭圆相似．已知椭圆C与椭圆Γ：x28+y24=1相似，且椭圆C的一个短轴端点是抛物线y=14x2的焦点．
（Ⅰ）试求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设椭圆E的中心在原点，对称轴在坐标轴上，直线l：y=kx+t（k≠0，t≠0）与椭圆C交于A，B两点，且与椭圆E交于H，K两点．若线段AB与线段HK的中点重合，试判断椭圆C与椭圆E是否为相似椭圆？并证明你的判断．
Γ
：
x
2
8
+
y
2
4
=
1
y
=
1
4
x
2
【考点】直线与圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程．
【答案】（Ⅰ） ；
（Ⅱ）是，证明：解法一：椭圆C与椭圆E是相似椭圆，
联立椭圆C和直线l的方程，
，消去y，得（1+2k2）x2+4ktx+2t2-8=0，
设A，B的横坐标分别为x1，x2，则．
设椭圆E的方程为，
联立方程组
，消去y，得（n2+m2k2）x2+2ktm2x+m2（t2-n2）=0，
设H，K的横坐标分别为x3，x4，则，
∵弦AB的中点与弦HK的中点重合，
∴x1+x2=x3+x4，∴=，
∵k≠0，t≠0，∴化简得m2=2n2，
求得椭圆E的离心率，
∴椭圆C与椭圆E是相似椭圆．
解法二：设椭圆E的方程为，并设A（x1，y1），B（x2，y2），H（x3，y3），K（x4，y4），
∵A，B在椭圆C上，
∴且，两式相减并恒等变形得，
由H，K在椭圆E上，仿前述方法可得，
∵弦AB的中点与弦HK的中点重合，∴m2=2n2，
求得椭圆E的离心率，
∴椭圆C与椭圆E是相似椭圆．
x
2
2
+
y
2
=
1
（Ⅱ）是，证明：解法一：椭圆C与椭圆E是相似椭圆，
联立椭圆C和直线l的方程，
x 2 8 + y 2 4 = 1 |
y = kx + t |
设A，B的横坐标分别为x1，x2，则
x
1
+
x
2
=
-
4
kt
1
+
2
k
2
设椭圆E的方程为
x
2
m
2
+
y
2
n
2
=
1
（
m
＞
0
，
n
＞
0
，
m
≠
n
）
联立方程组
x 2 m 2 + y 2 n 2 = 1 |
y = kx + t |
设H，K的横坐标分别为x3，x4，则
x
3
+
x
4
=
-
2
kt
m
2
n
2
+
m
2
k
2
∵弦AB的中点与弦HK的中点重合，
∴x1+x2=x3+x4，∴
-
4
kt
1
+
2
k
2
-
2
kt
m
2
n
2
+
m
2
k
2
∵k≠0，t≠0，∴化简得m2=2n2，
求得椭圆E的离心率
e
=
m
2
-
n
2
m
=
n
2
n
=
2
2
∴椭圆C与椭圆E是相似椭圆．
解法二：设椭圆E的方程为
x
2
m
2
+
y
2
n
2
=
1
（
m
＞
0
，
n
＞
0
，
m
≠
n
）
∵A，B在椭圆C上，
∴
x
1
2
+
2
y
1
2
=
2
x
2
2
+
2
y
2
2
=
2
k
=
-
2
×
x
1
+
x
2
y
1
+
y
2
由H，K在椭圆E上，仿前述方法可得
k
=
-
m
2
n
2
x
3
+
x
4
y
3
+
y
4
∵弦AB的中点与弦HK的中点重合，∴m2=2n2，
求得椭圆E的离心率
e
=
m
2
-
n
2
m
=
n
2
n
=
2
2
∴椭圆C与椭圆E是相似椭圆．
【解答】
【点评】
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