已知a＞b＞0，如图所示，曲线Γ由曲线C1：x2a2+y2b2=1（y≤0）和曲线C2：x2a2-y2b2=1（y＞0）组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点．
（1）若F2（2，0），F3（-6，0），求曲线Γ的方程；
（2）如图，作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于A、B两点，求证：弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上；
（3）对于（1）中的曲线Γ，若直线l1过点F4交曲线C1于C、D两点，求△CDF1面积的最大值．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
【考点】直线与圆锥曲线的综合．
【答案】（1）和．（2）证明见解析；（3）．
x
2
20
+
y
2
16
=
1
（
y
⩽
0
）
x
2
20
-
y
2
16
=
1
（
y
＞
0
）
16
5
3
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：215引用：2难度：0.1
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1．点P在以F1，F2为焦点的双曲线
（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O为坐标原点．E：x2a2-y2b2=1
（Ⅰ）求双曲线的离心率e；
（Ⅱ）过点P作直线分别与双曲线渐近线相交于P1，P2两点，且，OP1•OP2=-274，求双曲线E的方程；2PP1+PP2=0
（Ⅲ）若过点Q（m,0）（m为非零常数）的直线l与（2）中双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且（λ为非零常数），问在x轴上是否存在定点G，使MQ=λQN？若存在，求出所有这种定点G的坐标；若不存在，请说明理由．F1F2⊥（GM-λGN）发布：2024/12/29 10:0:1组卷：72引用：5难度：0.7 -
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．5
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