当前位置： 2022-2023学年北京161中学高二（上）期中数学试卷> 试题详情

已知集合S_n={X|X=（x₁，x₂，⋯，x_n），x_i∈N*，i=1，2，⋯，n}（n≥2）．对于A=（a₁，a₂，⋯，a_n），B=（b₁，b₂，⋯，b_n）∈S_n，定义
AB
=
（
b
1
-
a
1
，
b
2
-
a
2
，
⋯
，
b
n
-
a
n
）
；λ（a₁，a₂，⋯，a_n）=（λa₁，λa₂，⋯，λa_n）（λ∈R）；A与B之间的距离为
d
（
A
，
B
）
=
n
∑
i
=
1
|
a
i
-
b
i
|
．
（1）当n=5时，设A=（1，2，1，2，5），B=（2，4，2，1，3），求d（A，B）；
（2）（ⅰ）求证：若A，B，C∈S_n，且∃λ＞0，使
AB
=
λ
BC
，则d（A，B）+d（B，C）=d（A，C）；
（ⅱ）设A，B，C∈S_n，且d（A，B）+d（B，C）=d（A，C）．是否一定∃λ＞0，使
AB
=
λ
BC
？说明理由；
（3）记I=（1，1，⋯，1）∈S₂₀．若A，B∈S₂₀，且d（I，A）=d（I，B）=13，求d（A，B）的最大值．

【考点】数列与向量的综合；数列的应用．

【答案】（1）7；（2）（i）证明过程见解答；（ii）不存在，理由见解答；（3）26．

【解答】

【点评】

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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：33引用：2难度：0.3

相似题

1．在直角坐标平面中，已知点P₁（2，1），
P
2
（
2
2
，2），…，
P
n
（
2
n
，n），…，其中n是正整数．对平面上的任意一点 A₀，记A₁为A₀关于点P₁的对称点，A₂为A₁关于点P₂的对称点，…，A_n为A_n-1关于点P_n的对称点，…．
（1）设A₀（a,b），求向量
A
0
A
2
的坐标；
（2）对任意偶数n（n≥2），试问：
P
n
-
1
P
n
和
A
n
-
2
A
n
之间有怎样的关系；
（3）对任意偶数n（n≥2），用n表示向量
A
0
A
n
的坐标．
发布：2024/10/21 20:0:2组卷：35引用：1难度：0.5
解析
2．设x轴、y轴正方向上的单位向量分别是
i
、
j
，坐标平面上点列A_n、B_n（n∈N^*）分别满足下列两个条件：①
O
A
1
=
j
且
A
n
A
n
+
1
=
i
+
j
；②
O
B
1
=
3
i
且
B
n
B
n
+
1
=
（
2
3
）
n
×
3
i
．
（1）求
O
A
2
及
O
A
3
的坐标，并证明点A_n在直线y=x+1上；
（2）若四边形A_nB_nB_n+1A_n+1的面积是a_n，求a_n（n∈N^*）的表达式；
（3）对于（2）中的a_n，是否存在最小的自然数M，对一切n∈N^*都有a_n＜M成立？若存在，求M；若不存在，说明理由．
发布：2025/1/14 8:0:1组卷：44引用：1难度：0.3
解析
3．已知数列{a_n}的首项为1，D是△ABC边BC所在直线上一点，且
AC
=
3
（
a
n
+
1
）
AD
-
（
a
n
+
1
-
2
）
AB
，则数列{a_n}的通项公式为（　　）
A．3ⁿ-2 B．3ⁿ⁺¹-2
C．
5
×
（
-
3
）
n
-
1
-
1
4
D．
5
×
（
-
3
）
n
-
1
4
发布：2024/10/21 6:0:2组卷：147引用：2难度：0.5
解析

A．3ⁿ-2	B．3ⁿ⁺¹-2
C． 5 × （ - 3 ） n - 1 - 1 4	D． 5 × （ - 3 ） n - 1 4

3．已知数列{an}的首项为1，D是△ABC边BC所在直线上一点，且AC=3（an+1）AD-（an+1-2）AB，则数列{an}的通项公式为（ ）

3．已知数列{a_n}的首项为1，D是△ABC边BC所在直线上一点，且
AC
=
3
（
a
n
+
1
）
AD
-
（
a
n
+
1
-
2
）
AB
，则数列{a_n}的通项公式为（　　）