在探究“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的过程中，小明的思路是：将直角三角形补全成一个矩形，然后根据矩形的性质得出结论．请根据小明的思路完成以下作图与填空：尺规作图：用直尺和圆规在△ABC外部作射线AE，使∠CAE=∠ACB，再在射线AE上截取线段AD=BC，连接CD和BD，BD与AC交于点O．（不写作法，保留作图痕迹）已知：如图，△ABC中，∠ABC=90°，∠CAE=∠ACB，AD=BC，BD与AC交于点O．
求证：OB=12AC．
证明：∵∠CAE=∠ACB，
∴①AE∥BC①AE∥BC，
∵AD=BC且AD∥BC，
∴②四边形ABCD为平行四边形②四边形ABCD为平行四边形，
又∵∠ABC=90°，
∴③四边形ABCD为矩形③四边形ABCD为矩形，
∴OA=OC=12AC，OB=OD=12BD且 AC=BDAC=BD，
∴OB=12BD=12AC，即证明了“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一结论．
OB
=
1
2
AC
OA
=
OC
=
1
2
AC
OB
=
OD
=
1
2
BD
OB
=
1
2
BD
=
1
2
AC
【答案】①AE∥BC；②四边形ABCD为平行四边形；③四边形ABCD为矩形；AC=BD
【解答】
【点评】
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发布：2024/5/28 8:0:9组卷：30引用：1难度：0.5
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1．如图，△ABC中，AB=AC，AD∥BC．
（1）用圆规和直尺作△ABC的外接圆⊙O（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若AB=AC=5，BC=6，求⊙O的半径．发布：2025/1/20 8:0:1组卷：110引用：2难度：0.3 -
2．如图，点P在∠O的一边OA上，点Q在∠O的另一边OB上，按下列要求画图：
（1）过点P，Q的直线；
（2）过点P平行于OB的直线，过点Q平行于OA的直线，两直线相交于点M；
（3）请测量所作图中的线段，看有哪些线段的长度是相等的．发布：2024/12/23 17:30:9组卷：12引用：1难度：0.6 -
3．下面是小星同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程：
已知：如图，直线l和直线l外一点A
求作：直线AP，使得AP∥l
作法：如图
①在直线l上任取一点B（AB与l不垂直），以点A为圆心，AB为半径作圆，与直线l交于点C．
②连接AC，AB，延长BA到点D；
③作∠DAC的平分线AP．
所以直线AP就是所求作的直线
根据小星同学设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明
证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB（填推理的依据）
∵∠DAC是△ABC的外角，
∴∠DAC=∠ABC+∠ACB（填推理的依据）
∴∠DAC=2∠ABC
∵AP平分∠DAC，
∴∠DAC=2∠DAP
∴∠DAP=∠ABC
∴AP∥l（填推理的依据）发布：2024/12/23 14:30:1组卷：172引用：8难度：0.5
