设抛物线C：x2=2py（0＜p＜8）的焦点为F，点P是C上一点，且PF的中点坐标为（2，52）
（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；
（Ⅱ）动直线l过点A（0，2），且与抛物线C交于M，N两点，点Q与点M关于y轴对称（点Q与点N不重合），求证：直线QN恒过定点．
5
2
【考点】直线与抛物线的综合．
【答案】（Ⅰ）x2=4y；
（Ⅱ）（法一）依题意直线l的斜率存在，
设直线l：y=kx+2，M（x1，y1），N（x2，y2），则Q（-x1，y1），
联立
消去y得x2-4kx-8=0，显然Δ＞0，由韦达定理得
，
∵，
∴直线QN方程为，
即，
∵x1•x2=-8，∴QN方程为，
即直线QN方程恒过定点（0，-2）．
（法二）依题意知直线QN的斜率存在且不为0，
设直线QN方程为y=kx+b，Q（x1，y1），N（x2，y2），
则M（-x1，y1），
联立
消去y得x2-4kx-4b=0．
∵Q，N是抛物线C上不同两点，∴必有Δ＞0，
由韦达定理得
，
∵M，A，N三点共线，，
∴-x1（y2-2）-x2（y1-2）=0．∴-x1（kx2+b-2）-x2（kx1+b-2）=0，
∴2kx1x2+（b-2）（x1+x2）=0，即2k•（-4b）+（b-2）•4k=0化简得：kb+2k=0，
∵k≠0，∴b=-2，
∴直线QN方程为y=kx-2，
∴直线QN恒过定点（0，-2）．
（Ⅱ）（法一）依题意直线l的斜率存在，
设直线l：y=kx+2，M（x1，y1），N（x2，y2），则Q（-x1，y1），
联立
x 2 = 4 y |
y = kx + 2 |
x 1 + x 2 = 4 k |
x 1 x 2 = - 8 . |
∵
k
QN
=
y
2
-
y
1
x
2
+
x
1
=
x
2
2
4
-
x
1
2
4
x
2
+
x
1
=
x
2
-
x
1
4
∴直线QN方程为
y
-
y
1
=
x
2
-
x
1
4
（
x
+
x
1
）
即
y
=
y
1
+
x
2
-
x
1
4
（
x
+
x
1
）
=
x
2
-
x
1
4
x
+
x
1
（
x
2
-
x
1
）
4
+
x
1
2
4
=
x
2
-
x
1
4
x
+
x
1
x
2
4
∵x1•x2=-8，∴QN方程为
y
=
x
2
-
x
1
4
x
-
2
即直线QN方程恒过定点（0，-2）．
（法二）依题意知直线QN的斜率存在且不为0，
设直线QN方程为y=kx+b，Q（x1，y1），N（x2，y2），
则M（-x1，y1），
联立
x 2 = 4 y |
y = kx + b |
∵Q，N是抛物线C上不同两点，∴必有Δ＞0，
由韦达定理得
x 1 + x 2 = 4 k |
x 1 x 2 = - 4 b . |
∵M，A，N三点共线，
AM
=
（
-
x
1
，
y
1
-
2
）
，
AN
=
（
x
2
，
y
2
-
2
）
∴-x1（y2-2）-x2（y1-2）=0．∴-x1（kx2+b-2）-x2（kx1+b-2）=0，
∴2kx1x2+（b-2）（x1+x2）=0，即2k•（-4b）+（b-2）•4k=0化简得：kb+2k=0，
∵k≠0，∴b=-2，
∴直线QN方程为y=kx-2，
∴直线QN恒过定点（0，-2）．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：126引用：3难度：0.4
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