下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一条线段的垂直平分线讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．
活动探究：小明：如图①，可以用尺规作图；
①分别以点A，B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；
②作直线CD，CD就是所求作的直线．
小刚：我认为小明的作图方法很好，但是这四条弧可以半径不一样，如图②；
①分别以点A，B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧在AB的上方相交于P；
②分别以点A，B为圆心，改变半径的大小，仍保证大于12AB的长为半径作弧，两弧在AB的下方相交于Q；
③作直线PQ．PQ就是所求作的直线．
……
（1）小刚作图得到的直线PQ是线段AB的垂直平分线吗？请作出判断，并说明理由．
拓展应用：（2）如图③，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，分别以A，D为圆心，以大于12AD的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，分别交AB，AD，AC于点E，O，F，连接DE，DF．求证：四边形AEDF是菱形．
问题解决：（3）小刚在作图中发现（如图④所示），像这样满足PA=PB，QA=QB的有两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．如图⑤在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，点M，N分别在边AB，AC上，当以M，N，B，C为顶点的四边形是筝形时，请直接写出MN的长．
1
2
AB
1
2
AB
1
2
1
2
【考点】四边形综合题．
【答案】（1）直线PQ是线段AB的垂直平分线，理由见解答；
（2）证明见解答；
（3）MN的长为或．
（2）证明见解答；
（3）MN的长为
15
7
3
2
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/28 8:0:9组卷：232引用：1难度：0.3
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1．在平行四边形ABCD中，M，N分别是边AD，AB的点，AB=kAN，AD=kAM．
（1）如图1，若连接MN，BD，求证：MN∥BD；
（2）如图2，把△AMN绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°）得到△AFE，M，N的对应点分别为点E，F，连接BE，若∠ABF=∠EBC，∠AEB=2∠DAE．
①直接写出k的取值范围；
②当tan∠EBC=时，求k的值．13
发布：2025/5/26 11:30:1组卷：207引用：3难度：0.2 -
2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB=90°，AB=6cm,BC=8cm,AD=4cm.点P从点A出发沿AD向点D匀速运动，速度是1cm/s；同时，点Q从点C出发沿CA 向点A匀速运动，速度是1cm/s,当一个点到达终点，另一个点立即停止运动．连接PQ，BP，BQ，设运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥CD？
（2）设△BPQ的面积为s（cm2），求s与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t,使得△BPQ的面积为四边形ABCD面积的？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；12
（4）连接BD，是否存在某一时刻t,使得BP平分∠ABD？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．发布：2025/5/26 12:0:1组卷：399引用：2难度：0.1 -
3．如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G下列结论正确的有．（填序号）
①GD=GH；②EC=2DG；③S△CDG=S四边形DHGE； ④图中有7个等腰三角形．发布：2025/5/27 4:0:1组卷：172引用：1难度：0.5
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