已知两点A（-1，0）、B（1，0），点P（x,y）是直角坐标平面上的动点，若将点P的横坐标保持不变、纵坐标扩大到2倍后得到点Q（x,2y）满足AQ•BQ=1．
（1）求动点P所在曲线C的轨迹方程；
（2）过点B作斜率为-22的直线l交曲线C于M、N两点，且满足OM+ON+OH=0（O为坐标原点），试判断点H是否在曲线C上，并说明理由．
2
2
y
AQ
•
BQ
=
1
2
2
OM
+
ON
+
OH
=
0
【答案】（1）+y2=1．
（2）是；
因直线l过点B，且斜率为k=-，故有l：y=-（x-1）
联立直线与椭圆，消元可得2x2-2x-1=0．
设两曲线的交点为M（x1，y1）、N（x2，y2），可得 x1+x2=1，x1x2=-，
于是 x1+x2=1，y1+y2=．
又，于是=（-x1-x2，-y1-y2），可得点H（-1，-）．
将点H（-1，-）的坐标代入曲线C的方程的左边，有=1（=右边），即点H的坐标满足曲线C的方程．
所以点H在曲线C上．
x
2
2
（2）是；
因直线l过点B，且斜率为k=-
2
2
2
2
联立直线与椭圆，消元可得2x2-2x-1=0．
设两曲线的交点为M（x1，y1）、N（x2，y2），可得 x1+x2=1，x1x2=-
1
2
于是 x1+x2=1，y1+y2=
2
2
又
OM
+
ON
+
OH
=
0
OH
2
2
将点H（-1，-
2
2
1
2
+
1
2
所以点H在曲线C上．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：199引用：3难度：0.3
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