已知椭圆C的焦点分别为点F1（-1，0）、F2（1，0），C的离心率e=22．
（I）求椭圆C的方程；
（II）经过点（0，2）且斜率为k的直线l与曲线C有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围；
（III）已知点M（2，0），N（0，1），在（II）的条件下，是否存在常数k,使得向量OP+OQ与MN
共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．
2
2
2
2
OP
OQ
MN
【考点】直线与椭圆的综合．
【答案】（I）+y2=1；
（II）（-∞，-）∪（，+∞）；
（III）不存在，理由如下：
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则=（x1+x2，y1+y2），
由①得x1+x2=-．②
又y1+y2=k（x1+x2）+2③
因为M（，0），N（0，1），所以=（-，1）．
所以向量+共线等价于x1+x2=-（y1+y2）．
将②③代入上式，解得k=．
所以不存在常数k，使得向量+与共线．
x
2
2
（II）（-∞，-
2
2
2
2
（III）不存在，理由如下：
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则
OP
由①得x1+x2=-
4
2
k
1
+
2
k
2
又y1+y2=k（x1+x2）+2
2
因为M（
2
MN
2
所以向量
OP
OQ
2
将②③代入上式，解得k=
2
2
所以不存在常数k，使得向量
OP
OQ
MN
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：57引用：1难度：0.6
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