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已知双曲线C：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程y=
2
x,原点到过A（a,0）、B（0，-b）点直线l的距离为
6
3
．
（1）求双曲线方程；
（2）过点Q（1，1）能否作直线m,使m与已知双曲线交于两点P₁，P₂，且Q是线段P₁P₂的中点？若存在，请求出其方程；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）

；
（2）不存在，
假设直线l存在．
设Q是线段P₁P₂的中点，
且P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），则x₁+x₂=2，y₁+y₂=2．
∵P₁，P₂在双曲线上，
∴代入作差，整理可得2（x₁+x₂）（x₁-x₂）-（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
∴4（x₁-x₂）=2（y₁-y₂），
∴k=2，
∴直线l的方程为y-1=2（x-1），即2x-y-1=0，
联立方程组，得2x²-4x+3=0
∵Δ=16-4×3×2=-8＜0，
∴直线l与双曲线无交点，
∴直线l不存在．

【解答】

【点评】

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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：415引用：3难度：0.9

相似题

1．已知F₁，F₂为椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的公共点，且∠F₁PF₂=
π
3
，e₁，e₂分别为椭圆和双曲线的离心率，则
4
e
1
e
2
3
e
1
2
+
e
2
2
的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
发布：2025/1/2 23:30:3组卷：204引用：2难度：0.5
解析
2．若双曲线
x
2
8
-
y
2
m
=1的渐近线方程为y=±2x,则实数m等于（　　）
A．4 B．8 C．16 D．32
发布：2025/1/5 18:30:5组卷：26引用：1难度：0.9
解析
3．已知双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
的右焦点为F（2，0），渐近线方程为
3
x
±
y
=
0
，则该双曲线实轴长为（　　）
A．2 B．1 C．
3
D．
2
3
发布：2025/1/2 19:0:5组卷：136引用：2难度：0.7
解析

1．已知F1，F2为椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的公共点，且∠F1PF2=π3，e1，e2分别为椭圆和双曲线的离心率，则4e1e23e12+e22的值为（ ）

2．若双曲线x28-y2m=1的渐近线方程为y=±2x,则实数m等于（ ）

3．已知双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），渐近线方程为3x±y=0，则该双曲线实轴长为（ ）

1．已知F₁，F₂为椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的公共点，且∠F₁PF₂=
π
3
，e₁，e₂分别为椭圆和双曲线的离心率，则
4
e
1
e
2
3
e
1
2
+
e
2
2
的值为（　　）

2．若双曲线
x
2
8
-
y
2
m
=1的渐近线方程为y=±2x,则实数m等于（　　）

3．已知双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
的右焦点为F（2，0），渐近线方程为
3
x
±
y
=
0
，则该双曲线实轴长为（　　）