已知f（x）=x+alnx-1，其中a∈R．
（1）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线与直线x+2y+3=0垂直，求a的值；
（2）设
g
（
x
）
=
f
（
x
）
+
1
x
，函数y=g（x）在x=x₀时取到最小值g（x₀），求a关于x₀的表达式，并求g（x₀）的最大值；
（3）当a=-1时，设
T
（
x
）
=
f
（
x
）
+
2
x
-
x
，数列{a_n}（n∈N，n≥1）满足a₁∈（0，1），且a_n+1=T（a_n），证明：a_n+1+a_n+3＞2a_n+2（n∈N，n≥1）．

【答案】见试题解答内容

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发布：2024/10/8 11:0:2组卷：216引用：6难度：0.5

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1．已知函数
f
（
x
）
=
ln
2
+
x
2
-
x
+
1
，若关于x的不等式
f
（
k
e
x
）
+
f
（
-
1
2
x
）
＞
2
对任意x∈（0，2）恒成立，则实数k的取值范围（　　）
A．（
1
2
e
，+∞） B．（
1
2
e
，
2
e
2
） C．（
1
2
e
，
2
e
2
] D．（
2
e
2
，1]
发布：2025/1/5 18:30:5组卷：298引用：2难度：0.4
解析
2．已知函数f（x）=ax³+x²+bx（a,b∈R）的图象在x=-1处的切线斜率为-1，且x=-2时，y=f（x）有极值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[-3，2]上的最大值和最小值．
发布：2024/12/29 12:30:1组卷：48引用：4难度：0.5
解析
3．已知函数f（x）=
e
x
-
a
x
2
1
+
x
．
（1）若a=0，讨论f（x）的单调性．
（2）若f（x）有三个极值点x₁，x₂，x₃．
①求a的取值范围；
②求证：x₁+x₂+x₃＞-2．
发布：2024/12/29 13:0:1组卷：195引用：2难度：0.1
解析

1．已知函数f（x）=ln2+x2-x+1，若关于x的不等式f（kex）+f（-12x）＞2对任意x∈（0，2）恒成立，则实数k的取值范围（ ）