如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2+bx+c经过点A（-4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接OC，点Q是直线AC上不与A、B重合的点，若S△OAQ=2S△OAC，请求出点Q的坐标；
（3）在x轴上有一动点H，平面内是否存在一点N，使以点A、H、C、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
1
2
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）抛物线的解析式为：；
（2）点Q的坐标为：Q（-16，-12）或Q（8，12）；
（3）点N的坐标为：或或N（-4，6）或N（2，-6）．
y
=
1
2
x
2
+
2
x
（2）点Q的坐标为：Q（-16，-12）或Q（8，12）；
（3）点N的坐标为：
N
（
2
+
6
2
，
6
）
N
（
2
-
6
2
，
6
）
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：278引用：1难度：0.1
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1．如图，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=-x2+bx+c经过点B、C的，与x轴另一交点为A，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴是否存在一点E，使得△BCE是等腰三角形，若存在，求出E的点坐标，若不存在，请说明理由；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB=∠OCB？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．发布：2025/5/24 15:0:1组卷：156引用：2难度：0.3 -
2．如图，直线y=-x+12图象交x轴于点A，交y轴于点C，点A，点C在抛物线y=ax2+bx+b-a的图象上．P点是线段OA上的一个动点，过点P作x轴的垂线l交抛物线和直线AC于点M，N两点．72
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）当△MCN恰好是以MN为斜边的直角三角形时，求此时点M的坐标；
（3）x轴上方的对称轴上有一动点E，平面上是否存在一点F，使以A、C、E、F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在（2）的条件下，将线段PA绕着点P逆时针旋转一定的角度α（0°＜α＜90°），得到线段PQ．试探究线段PM上是否存在一个定点D（不与P、M重合），无论PQ如何旋转，的值始终保持不变．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．DQMQ发布：2025/5/24 15:0:1组卷：101引用：1难度：0.2 -
3．如图，在平面直角坐标系中，直线y=
x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=-12+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．12x2
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，求的最大值；DEEB
（3）过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的∠DCF=2∠BAC，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
发布：2025/5/24 15:30:1组卷：307引用：1难度：0.1
