已知椭圆M：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的焦距与短轴长相等，长轴长为62，设过右焦点F倾斜角为θ的直线交椭圆M于A、B两点．
（1）求椭圆M的方程；
（2）求证：|AB|=621+sin2θ；
（3）设过右焦点F且与直线AB垂直的直线交椭圆M于C、D，求四边形ABCD面积的最小值．
M
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
6
2
|
AB
|
=
6
2
1
+
si
n
2
θ
【考点】直线与椭圆的综合．
【答案】（1）．
（2）当时，设直线AB的斜率为k=tanθ，焦点F（3，0），
则直线AB的方程为y=k（x-3），
由
，得
（1+2k）2x2-12k2+18（k2-1）=0，
设点A（x1，y1），B（x2，y2），有，，
则|AB|== ①
又因为k=tanθ=，
代入①式，得
|AB|===．
当时，直线AB的方程为x=3，
此时|AB|=3，
而当时，|AB|==．
综上所述，|AB=．
（3）16．
x
2
18
+
y
2
9
=
1
（2）当
θ
≠
π
2
则直线AB的方程为y=k（x-3），
由
y = kx - 3 k |
x 2 18 + y 2 9 = 1 |
（1+2k）2x2-12k2+18（k2-1）=0，
设点A（x1，y1），B（x2，y2），有
x
1
+
x
2
=
12
k
2
1
+
2
k
2
x
1
x
2
=
18
（
k
2
-
1
）
1
+
2
k
2
则|AB|=
（
1
+
k
2
）
[
（
12
k
2
1
+
2
k
2
）
-
4
×
18
（
k
2
-
1
）
1
+
2
k
2
]
6
2
（
1
+
k
2
）
1
+
2
k
2
又因为k=tanθ=
sinθ
cosθ
代入①式，得
|AB|=
6
2
co
s
2
θ
+
2
si
n
2
θ
6
2
1
-
si
n
2
θ
+
2
si
n
2
θ
6
2
1
+
si
n
2
θ
当
θ
=
π
2
此时|AB|=3
2
而当
θ
=
π
2
6
2
1
+
si
n
2
θ
3
2
综上所述，|AB=
6
2
1
+
si
n
2
θ
（3）16．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：39引用：1难度：0.2
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