平面直角坐标系中，抛物线y=a（x-1）2+92与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△BCP是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，是否存在点M使AM+OM最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
y
=
a
（
x
-
1
）
2
+
9
2
【考点】二次函数综合题．
【答案】见试题解答内容
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：1859引用：12难度：0.4
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1．在平面直角坐标系中，O为原点，直线y=-2x-1与y轴交于点A，与直线y=-x交于点B，点B关于原点的对称点为点C．
（1）过A，B，C三点的抛物线的解析式为 ；
（2）P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q．
①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；
②若点P的横坐标为t（-1＜t＜1），当t为何值时，四边形PBQC面积最大，并说明理由．
发布：2025/6/13 15:0:2组卷：117引用：1难度：0.3 -
2．如图，抛物线y=a（x-h）2+k（a≠0）的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以AC为对角线的正方形ABCD的另外两个顶点B、D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形ABCD为它的内接正方形．
（1）当抛物线y=ax2+1是“美丽抛物线”时，则a=；
当抛物线y=-x2+k是“美丽抛物线”时，则k=；14
（2）若抛物线y=ax2+k是“美丽抛物线”，则a,k之间的数量关系为 ．发布：2025/6/13 13:0:4组卷：219引用：2难度：0.4 -
3．如图，顶点在y轴上的抛物线与x轴交于点A、B，且A点的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，1）．
（1）求抛物线的解析式，并求出点B坐标；
（2）过点B作BD∥CA交抛物线于点D，连接BC、CA、AD，求四边形ABCD的周长和面积（结果保留根号）；
（3）在x轴上方的抛物线上是否存在点P，过点P作PE垂直于x轴，垂足为点E，使以B、P、E为顶点的三
角形与△CBD相似？若存在请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
发布：2025/6/13 13:30:1组卷：25引用：1难度：0.1
