将一块足够大的直角三角板的直角顶点P放在边长为1的正方形ABCD的对角线AC上滑动，一条直角边始终经过点B，另一条直角边与射线DC交于点E．
（1）当点E在边DC上时（如图1），求证：①△PBC≌△PDC；②PB=PE．
（2）当点E在边DC的延长线上时（如图2），（1）中的结论②还成立吗？如果不成立，请说明理由；如果成立，请给予证明．
【考点】四边形综合题．
【答案】（1）证明见解答；
（2）（1）中的结论②还成立，理由见解答．
（2）（1）中的结论②还成立，理由见解答．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：371引用：3难度：0.2
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1．在△ABC中，AB=AC，点D为AB边上一动点，∠CDE=∠BAC=α，CD=ED，连接BE，EC．
（1）问题发现：
如图①，若α=60°，则∠EBA=，AD与EB的数量关系是 ；
（2）类比探究：
如图②，当α=90°时，请写出∠EBA的度数及AD与EB的数量关系并说明理由；
（3）拓展应用：
如图③，点E为正方形ABCD的边AB上的三等分点，以DE为边在DE上方作正方形DEFG，点O为正方形DEFG的中心，若OA=，请直接写出线段EF的长度．2发布：2025/5/25 1:30:1组卷：780引用：3难度：0.3 -
2．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=2．点P为线段AB（不与点A和点B重合）上一点，连接CP，将△ACP沿CP翻折得到△DCP．
（1）如图1，当点D落在AB上时，AP=；
（2）如图2，当DP∥AC时，判断四边形ACDP的形状，并说明理由；
（3）当点D落在△ABC内部时，直接写出AP的取值范围．发布：2025/5/25 1:30:1组卷：70引用：1难度：0.2 -
3．背景阅读：
早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”．它被记载与我国古代著名数学著作《周髀算经》中，为了方便，在本题中，我们把三边的比为3：4：5的三角形称为（3，4，5）型三角形，例如：三边长分别为9，12，15或的三角形就是（3，4，5）型三角形，用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形．32，42，52
实践操作：
如图1，在矩形纸片ABCD中，AD=8cm,AB=12cm.
第一步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在AB上的点E处，折痕为AF，再沿EF折叠，然后把纸片展平．
第二步：如图3，将图2中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为GH，然后展平，隐去AF．
第三步：如图4，将图3中的矩形纸片沿AH折叠，得到△AD′H，再沿AD′折叠，折痕为AM，AM与折痕EF交于点N，然后展平．
问题解决：
（1）请在图4中判断NF与ND′的数量关系，并加以证明；
（2）请在图4中证明△AEN（3，4，5）型三角形；
探索发现：
（3）在不添加字母的情况下，图4中还有哪些三角形是（3，4，5）型三角形？请找出并直接写出它们的名称．发布：2025/5/25 2:0:6组卷：183引用：4难度：0.1
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