设A为非空集合，令A×A={（x,y）|x,y∈A}，则A×A的任意子集R都叫做从A到A的一个关系（Relation），简称A上的关系．
例如A={0，1，2}时，R₁={（0，2）}，R₂=A×A，R₃=∅，R₄={（0，0），（2，1）}等都是A上的关系．
设R为非空集合A上的关系．给出如下定义：
①（自反性）若∀x∈A，有（x,x）∈R，则称R在A上是自反的；
②（对称性）若∀（x,y）∈R，有（y,x）∈R，则称R在A．上是对称的；
③（传递性）若∀（x,y），（y,z）∈R，有（x,z）∈R，则称R在A．上是传递的；
如果R同时满足这3条性质，则称R为A上的等价关系．
（Ⅰ）已知A={0，1，2}，按要求填空：
（ⅰ）用列举法写出A×A=

{（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2）}

{（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2）}

；
（ⅱ）A上的关系有

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个（用数值作答）；
（ⅲ）用列举法写出A上的所有等价关系：{（0，0），（1，1），（2，2）}，{（0，0），（1，1），（2，2），（0，1），（1，0）}，{（0，0），（1，1），（2，2），（0，2），（2，0）}，

{（0，0），（1，1），（2，2），（1，2），（2，1）}

{（0，0），（1，1），（2，2），（1，2），（2，1）}

，

{（0，0），（1，1），（2，2），（1，2），（2，1），（0，2），（2，0），（0，1），（1，0）}

{（0，0），（1，1），（2，2），（1，2），（2，1），（0，2），（2，0），（0，1），（1，0）}

共5个．
（Ⅱ）设R₁，和R₂是某个非空集合A上的关系，证明：
（ⅰ）若R₁，R₂是自反的和对称的，则R₁∪R₂也是自反的和对称的：
（ⅱ）若R₁，R₁是传递的，则R₁∩R₂也是传递的．
（Ⅲ）若给定的集合A有n个元素（n≥4）A₁，A₂，⋯A_m（2≤m≤n）为A的非空子集，满足A₁∪A₂∪⋯∪A_m=A且两两交集为空集．
求证：R=（A₁×A₁）∪（A₂×A₂）∪⋯∪（A_m×A_m）为A上的等价关系．