如图1，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A（-1，0），B（3，0），交y轴正半轴于点C（0，3），连接BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点P为直线BC上方抛物线上任意一点，连接DP，与BC交于点E，连接AE，AP，当△APE面积最大时，求点P的坐标及△APE面积的最大值；
（3）如图3，过点B作直线l,点M，N分别是线段AB和直线l上的动点，连接CM，CN，MN，∠CNM=45°．
①连接AC，当△ABC与△CMN相似，且S△CMN最小时，求点N的坐标；
②在①的条件下，直线l上是否存在一动点Q，使得∠MQN=45°，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）y=-x2+2x+3，
（2）S△APE有最大值为，此时，点P（，）；
（3）N的坐标为（，）或（，）；点Q的坐标为：（，-）或（，-）．
（2）S△APE有最大值为
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（3）N的坐标为（
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【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：104引用：1难度：0.3
相似题
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1．如图1．抛物线y=ax2+2x+c,交x轴于A、B两点，交y轴于点C．当y≥0时-1≤x≤3．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点D是抛物线上第一象限的点．
①如图1连接AD，交线段BC于点G，若=DGAG时，求D点的坐标；12
②如图2，在①条件下，当点D靠近抛物线对称轴时，过点D作DP⊥x轴，点H是DP上一点，连接AH，求AH+DH的最小值；1010
（3）如图3，点D是抛物线上第一象限的点，F为抛物线顶点，直线EF垂直于x轴于点E，直线AD，BD分别与抛物线对称轴交于M、N两点试问，EM+EN是否为定值？如果是，请直接写出这个定值：如果不是，请说明理由．发布：2025/5/23 7:30:1组卷：347引用：1难度：0.4 -
2．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图2，M是抛物线顶点，△CBM的外接圆与x轴的另一交点为D，与y轴的另一交点为E．
①求tan∠CBE；
②若点N是第一象限内抛物线上的一个动点，在射线AN上是否存在点P，使得△ACP与△BCE相似？如果存在，请求出点P的坐标；
（3）点Q是抛物线对称轴上一动点，若∠AQC为锐角，且tan∠AQC＞1，请直接写出点Q纵坐标的取值范围．
发布：2025/5/23 7:0:1组卷：1401引用：4难度：0.1 -
3．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P是直线BC下方的抛物线上一动点（不点B，C重合），过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，设点P的横坐标为m.
①用含m的代数式表示线段PD的长．
②连接PB，PC，求△PBC的面积最大时点P的坐标．
（3）设抛物线的对称轴与BC交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．发布：2025/5/23 7:30:1组卷：4997引用：12难度：0.1
