已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧棱PA⊥平面ABCD，点M在棱DP上，且DM=2MP，点N是在棱PC上的动点（不为端点）．
（1）若N是棱PC中点，完成：
（ⅰ）画出△PBD的重心G（在图中作出虚线），并指出点G与线段AN的关系：
（ⅱ）求证：PB∥平面AMN；
（2）若四边形ABCD是正方形，且AP=AD=3，当点N在何处时，直线PA与平面AMN所成角的正弦值取最大值．
【答案】（1）（i）答案见解析；
（ii）证明见解析；
（2）当点N在线段PC靠点P的三等分点处时，直线PA与平面AMN所成角的正弦值最大．
（ii）证明见解析；
（2）当点N在线段PC靠点P的三等分点处时，直线PA与平面AMN所成角的正弦值最大．
【解答】
【点评】
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发布：2024/10/23 12:0:1组卷：320引用：6难度：0.5
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1．如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）设Q为PA的中点，G△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC．
（3）若AC=BC=，PC与平面ACB所成的角为3，求三棱锥P-ACB的π3
体积．发布：2025/1/20 8:0:1组卷：73引用：1难度：0.7 -
2．如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面与圆O所在平面互相垂直，已知AB=2，EF=1．
（Ⅰ）求证：BF⊥平面ADF；
（Ⅱ）求BF与平面ABCD所成的角；
（Ⅲ）在DB上是否存在一点M，使ME∥平面ADF？若不存在，请说明理由；若存在，请找出这一点，并证明之．发布：2025/1/20 8:0:1组卷：23引用：3难度：0.3 -
3．AB为圆O的直径，点E，F在圆上，AB∥EF，矩形ABCD所
在平面与圆O所在平面互相垂直，
已知AB=2，EF=1．
（1）求证：BF⊥平面DAF；
（2）求BF与平面ABCD所成的角；
（3）若AC与BD相交于点M，
求证：ME∥平面DAF．发布：2025/1/20 8:0:1组卷：29引用：3难度：0.1
