已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的离心率e=2，P1，P2分别为其两条渐近线上的点，若满足P1P=PP2的点P在双曲线上，且△OP1P2的面积为8，其中O为坐标原点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过双曲线C的右焦点F2的动直线与双曲线相交于A，B两点，在x轴上是否存在定点M，使MA•MB为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
C
：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
e
=
2
P
1
P
=
P
P
2
MA
•
MB
【考点】双曲线与平面向量．
【答案】（1）双曲线的方程为：-=1；
（2）是，理由：
当直线AB的斜率不为0时，设直线AB的方程为：x=my+4，设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立
，整理可得：（m2-1）y2+8my+8=0，可得m2≠1，Δ=64m2-32（m2-1）＞0恒成立，
且y1+y2=，y1y2=，
假设存在M（x0，0）满足条件，
则•=（x1-x0，y1）（x2-x0，y2）=（x1-x0）（x2-x0）+y1y2=（my1+4-x0）（my2+4-x0）+y1y2=（1+m2）y1y2+（4-x0）m（y1+y2）+（4-x0）2=+m（4-x0）•）+（4-x0）2
==，
要使•为定值，则=，解得x0=2，
即M（2，0）满足条件使得•=-8=-4为常数；
当直线AB的斜率为0时，则直线AB的方程为y=0，则A（-2，0），B（2，0），M（2，0），
可得•=（2+2，0）（2-2，0）=（2+2）（2-2）=22-（2）2=-4，也成立，
综上所述：M（2，0）满足•为常数-4．
x
2
8
y
2
8
（2）是，理由：
当直线AB的斜率不为0时，设直线AB的方程为：x=my+4，设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立
x = my + 4 |
x 2 - y 2 = 8 |
且y1+y2=
-
8
m
m
2
-
1
8
m
2
-
1
假设存在M（x0，0）满足条件，
则
MA
MB
（
1
+
m
2
）
8
m
2
-
1
-
8
m
m
2
-
1
=
8
（
1
+
m
2
）
-
8
m
2
（
4
-
x
0
）
+
（
4
-
x
0
）
2
（
m
2
-
1
）
m
2
-
1
（
x
0
2
-
8
）
m
2
-
（
x
0
2
-
8
x
0
+
8
）
m
2
-
1
要使
MA
MB
x
0
2
-
8
1
x
0
2
-
8
x
0
+
8
1
即M（2，0）满足条件使得
MA
MB
x
2
0
当直线AB的斜率为0时，则直线AB的方程为y=0，则A（-2
2
2
可得
MA
MB
2
2
2
2
2
综上所述：M（2，0）满足
MA
MB
【解答】
【点评】
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发布：2024/7/15 8:0:9组卷：551引用：11难度：0.6
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