已知二次曲线C_k的方程：
x
2
9
-
k
+
y
2
4
-
k
=
1
．
（1）分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；
（2）若双曲线C_k与直线y=x+1有公共点且实轴最长，求双曲线方程；
（3）m、n为正整数，且m＜n,是否存在两条曲线C_m、C_n，其交点P与点
F
1
（
-
5
，
0
）
，
F
2
（
5
，
0
）
满足PF₁⊥PF₂，若存在，求m、n的值；若不存在，说明理由．

【答案】（1）当且仅当k＜4时，方程表示椭圆；
当且仅当4＜k＜9时，方程表示双曲线．
（2）

=1；
（3）由（1）知C₁，C₂，C₃是椭圆，C₅，C₆，C₇，C₈是双曲线，结合图象的几何性质
任意两椭圆之间无公共点，任意两双曲线之间无公共点
设|PF₁|=d₁，|PF₂|=d₂，m∈{1，2，3}，n∈{5，6，7，8}
由椭圆与双曲线定义及

•

=0；

所以m+n=8
所以这样的C_m，C_n存在，且

或

．

【解答】

【点评】

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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：528引用：6难度：0.1

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1．点P在以F₁，F₂为焦点的双曲线
E
：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（a＞0，b＞0）上，已知PF₁⊥PF₂，|PF₁|=2|PF₂|，O为坐标原点．
（Ⅰ）求双曲线的离心率e；
（Ⅱ）过点P作直线分别与双曲线渐近线相交于P₁，P₂两点，且
O
P
1
•
O
P
2
=
-
27
4
，
2
P
P
1
+
P
P
2
=
0
，求双曲线E的方程；
（Ⅲ）若过点Q（m,0）（m为非零常数）的直线l与（2）中双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且
MQ
=
λ
QN
（λ为非零常数），问在x轴上是否存在定点G，使
F
1
F
2
⊥
（
GM
-
λ
GN
）
？若存在，求出所有这种定点G的坐标；若不存在，请说明理由．
发布：2024/12/29 10:0:1组卷：72引用：5难度：0.7
解析
2．已知两个定点坐标分别是F₁（-3，0），F₂（3，0），曲线C上一点任意一点到两定点的距离之差的绝对值等于2
5
．
（1）求曲线C的方程；
（2）过F₁（-3，0）引一条倾斜角为45°的直线与曲线C相交于A、B两点，求△ABF₂的面积．
发布：2024/12/29 10:30:1组卷：100引用：1难度：0.9
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3．若过点（0，-1）的直线l与抛物线y²=2x有且只有一个交点，则这样的直线有（　　）条．
A．1 B．2 C．3 D．4
发布：2024/12/29 10:30:1组卷：26引用：5难度：0.7
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2．已知两个定点坐标分别是F1（-3，0），F2（3，0），曲线C上一点任意一点到两定点的距离之差的绝对值等于25．（1）求曲线C的方程；（2）过F1（-3，0）引一条倾斜角为45°的直线与曲线C相交于A、B两点，求△ABF2的面积．