如图，抛物线y=ax2+23x+c与x轴交于原点和点A（4，0），抛物线的顶点为点B．
（1）求抛物线的解析式及点B的坐标；
（2）△AOB是等边三角形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由；
（3）若动点M从点A出发，以每秒2个长度单位的速度沿折线AO-OB的路径运动．动点N从点B出发，以每秒1个长度单位的速度，沿线段BA运动，当M、N其中一个点停止运动时另一个点也停止运动，设它们运动的时间为t（s），连接MN，MN分割△AOB，若分割出的三角形与△AOB相似，求t的所有取值．
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【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）y=-x2+2x，B（2，2）；（2）△AOB是等边三角形；（3）t的值为或．
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【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：69引用：2难度：0.3
相似题
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1．如图，抛物线y=ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB=OC=3．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF=3：2时，求点D的坐标．
（3）如图2，点E的坐标为（0，），在抛物线上是否存在点P，使∠OBP=2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．-32发布：2025/5/25 20:30:1组卷：4744引用：8难度：0.3 -
2．综合与探究
如图，二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴分别交于点A（-2，0），B（4，0），点E是x轴正半轴上的一个动点，过点E作直线PE⊥x轴，交抛物线于点P，交直线BC于点F．
（1）求二次函数的表达式．
（2）当点E在线段OB上运动时（不与点O，B重合），恰有线段PF=EF，求此时点P的坐标．12
（3）试探究：若点Q是y轴上一点，在点E运动过程中，是否存在点Q，使得以点C，F，P，Q为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
发布：2025/5/25 20:30:1组卷：592引用：2难度：0.3 -
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于A，B两点（B在A的右侧），与y轴交于点C，已知OA=1，OB=4OA，连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P为BC下方抛物线上一动点，连接BP、CP，当S△BCP=S△BOC时，求点P的坐标；
（3）如图2，点N为线段OC上一点，求AN+CN的最小值．22发布：2025/5/25 20:30:1组卷：1217引用：2难度：0.4
