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过直角坐标平面xOy中的抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作一条倾斜角为π4的直线与抛物线交于A、B两点，证明：∠AOB的大小是与p无关的定值．
π
4
【考点】抛物线的焦点与准线．
【答案】证明：抛物线的焦点F（，0），直线AB的方程为：y=x-，即x-y-=0．
联立方程组
，消元可得：x2-3px+=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=3p，x1x2=，
∴|AB|=x1+x2+p=4p，|OA|==，|OB|=，
∴cos∠AOB===-=-．
∴∠AOB的大小是与p无关的定值．
p
2
p
2
p
2
联立方程组
x - y - p 2 = 0 |
y 2 = 2 px |
p
2
4
设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=3p，x1x2=
p
2
4
∴|AB|=x1+x2+p=4p，|OA|=
x
1
2
+
y
1
2
x
1
2
+
2
p
x
1
x
2
2
+
2
p
x
2
∴cos∠AOB=
O
A
2
+
O
B
2
-
A
B
2
2
OA
•
OB
x
1
2
+
x
2
2
+
2
p
（
x
1
+
x
2
）
-
16
p
2
2
x
1
2
x
2
2
+
2
p
x
1
x
2
（
x
1
+
x
2
）
+
4
p
2
x
1
x
2
3
2
p
2
41
p
2
2
3
41
∴∠AOB的大小是与p无关的定值．
【解答】
【点评】
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发布：2024/5/23 20:38:36组卷：28引用：1难度：0.9
