在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，6），其中AB=8，tan∠CAB=3．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线BC上方抛物线上一点，过点P作PD∥AC交x轴于点D，交BC于点E，求10PE-2BE的最大值及点P的坐标．
（3）将该抛物线沿射线CA方向平移210个单位长度得到抛物线y1，平移后的抛物线与原抛物线相交于点F，点G为抛物线y1的顶点，点M为直线FG上一点，点N为平面上一点．在（2）中，当10PE-2BE的值最大时，是否存在以P、E、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
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【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）y=x2+2x+6；
（2）4，（4，6）；
（3）（1，5）或（，）或（3+，3+）或（3-，3-）．
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【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：1143引用：5难度：0.1
相似题
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1．如图1，直线y=-x+5与x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一交点坐标为A（-1，0）．
（1）求B、C两点的坐标及该抛物线所对应的函数关系式；
（2）P在线段BC上的一个动点（与B、C不重合），过点P作直线a∥y轴，交抛物线于点E，交x轴于点F，设点P的横坐标为m.
①若点P的横坐标为m,请用m表示线段PE的长度并写出m的取值范围；
②有人认为：当直线a与抛物线的对称轴重合时，线段PE的值最大，你同意他的观点吗？请说明理由；
③过点P作直线b∥x轴（图2），交AC于点Q，那么在x轴上是否存在点R，使得△PQR与△BOC相似？若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．发布：2025/5/24 9:0:1组卷：155引用：3难度：0.3 -
2．抛物线y=ax2+bx+3经过A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴正半轴交于点C．
（1）求此抛物线解析式；
（2）如图①，连接BC，点P为抛物线第一象限上一点，设点P的横坐标为m,△PBC的面积为S，求S与m的函数关系式，并求S最大时P点坐标；
（3）如图②，连接AC，在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．发布：2025/5/24 8:0:1组卷：301引用：3难度：0.1 -
3．在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=a（x-1）2+k的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），AB=4，与y轴交于点C，E为抛物线的顶点，且tan∠ABE=2．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）已知P在第四象限的抛物线上，连接AE交y轴于点M，连接PE交x轴于点N，连接MN，若S△EAP=3S△EMN，求点P的坐标；
（3）如图2，将原抛物线沿y轴翻折得到一个新抛物线，A点的对应点为点F，过点C作直线l与新抛物线交于另一点M，与原抛物线交于另一点N，是否存在这样一条直线，使得△FMN的内心在直线EF上？若存在，求出直线l的解析式；若不存在，请说明理由．
发布：2025/5/24 9:0:1组卷：767引用：5难度：0.3
