在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．
（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，求证：BP=CE，CE⊥AD．
（2）当点E在菱形ABCD外部时，如图2和图3，那么（1）中的结论 成立成立（直接填“成立”或“不成立”）．
（3）如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB=3，BE=19，等边△APE边长为 77．
AB
=
3
，
BE
=
19
7
7
【考点】四边形综合题．
【答案】成立；
7
【解答】
【点评】
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发布：2025/6/10 6:0:2组卷：195引用：1难度：0.2
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1．阅读下面材料．
小炎遇到这个一个问题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由．
小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中，她先尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB、AD是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，再利用全等的知识解决这个问题（如图2）．
参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：
（1）写出小炎的推理过程；
（2）如图3，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足于 关系时，仍有EF=BE+DF；
（3）如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，求DE的长．发布：2025/6/10 11:30:1组卷：291引用：2难度：0.2 -
2．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，点E在折线BCD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于∠BAC，连接CF．
（1）当点E在BC上时，作FM⊥AC，垂足为M，求证：AM=AB；
（2）当AE=3时，求CF的长；2
（3）连接DF，点E从点B运动到点D的过程中，试探究DF的最小值．
发布：2025/6/10 11:30:1组卷：3953引用：8难度：0.1 -
3．如图1，点O为长方形ABCD的中心，x轴∥BC，y轴∥AB，AB=6，BC=12．
（1）直接写出A、B的坐标；
（2）如图2，若点P从C点出发以每秒2个单位长度向CB方向匀速移动（不超过点B），点Q从B点出发以每秒1个单位长度向BA方向匀速移动（不超过点A），连接DP、DQ，在点P、Q移动过程中，四边形PBQD的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围．
（3）如图3，若矩形MNRS中，MN=4，NR=2，M（-8，0），MS在x轴上，矩形MNRS以每秒1个单位长度向右平移t（t＞0）秒得到矩形M'N'R'S'，点M'、N'、R'、S'分别为M、N、R、S的对应点，与此同时，点G从点O出发，沿矩形OEDF的边以每秒2个单位长度的速度顺时针方向运动，当点G第二次运动到点E时，点G和矩形MNRS都停止运动．连接GM'、GN'，当△GM'N'的面积为12时，请直接写出t的值．发布：2025/6/10 11:0:1组卷：118引用：2难度：0.1
