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通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲授开始时，学生的兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f（x）表示学生掌握和接受概念的能力（f（x）的值越大，表示学生的接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：min），可有以下公式：
f（x）=
-
0
.
1
x
2
+
2
.
6
x
+
43
（
0
＜
x
≤
10
）
59
（
10
＜
x
≤
16
）
-
3
x
+
107
（
16
＜
x
≤
30
）
．
（1）讲课开始后5min和讲课开始后20min比较，何时学生的注意力更集中？
（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中，能持续多久？
（3）一道数学难题，需要讲解13min,并且要求学生的注意力至少达到55，那么老师能否在学生达到所需状态下讲授完这道题目？请说明理由．

【考点】根据实际问题选择函数类型；分段函数的应用．

【答案】（1）讲课开始后5min学生注意力更集中；
（2）开讲10分钟后，学生的接受能力最强（为59），能维持6分钟；
（3）不能，理由见解析．

【解答】

【点评】

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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：40引用：2难度：0.6

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1．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益．假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量P（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系P（t）=
P
0
2
-
t
30
，其中P₀为t=0时该放射性同位素的含量．已知t=15时，该放射性同位素的瞬时变化率为
-
3
2
ln
2
10
，则该放射性同位素含量为4.5贝克时，衰变所需时间为（　　）
A．20天 B．30天 C．45天 D．60天
发布：2024/12/29 13:30:1组卷：156引用：11难度：0.7
解析
2．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为福清人喜爱的交通工具．据预测，福清某新能源汽车4S店从2023年1月份起的前x个月，顾客对比亚迪汽车的总需量R（x）（单位：辆）与x的关系会近似地满足
R
（
x
）
=
1
2
x
（
x
+
1
）
（
39
-
2
x
）
（其中x∈N^*且x≤6），该款汽车第x月的进货单价W（x）（单位：元）与x的近似关系是W（x）=150000+2000x.
（1）由前x个月的总需量R（x），求出第x月的需求量g（x）（单位：辆）与x的函数关系式；
（2）该款汽车每辆的售价为185000元，若不计其他费用，则这个汽车4S店在2023年的第几个月的月利润f（x）最大，最大月利润为多少元？
发布：2024/12/29 11:30:2组卷：24引用：3难度：0.5
解析
3．某工厂生产某种零件的固定成本为20000元，每生产一个零件要增加投入100元，已知总收入Q（单位：元）关于产量x（单位：个）满足函数：Q=
400
x
-
1
2
x
2
，
0
≤
x
≤
400
80000
，
x
＞
400
．
（1）将利润P（单位：元）表示为产量x的函数；（总收入=总成本+利润）
（2）当产量为何值时，零件的单位利润最大？最大单位利润是多少元？（单位利润=利润÷产量）
发布：2024/12/29 13:0:1组卷：234引用：11难度：0.5
解析