已知抛物线C1:x2=2py(p>0)和圆C2:(x+1)2+y2=2,倾斜角为45°的直线l1过C1的焦点且与C2相切.
(1)求p的值;
(2)点M在C1的准线上,动点A在C1上,C1在A点处的切线l2交y轴于点B,设MN=MA+MB,求证:点N在定直线上,并求该定直线的方程.
MN
=
MA
+
MB
【考点】圆与圆锥曲线的综合.
【答案】(1)p=6;
(2)解法一:依题意设M(m,-3),由(1)知抛物线C1方程为x2=12y,
所以,所以,设,则以A为切点的切线l2的斜率为,
所以切线l2的方程为.
令x=0,,即l2交y轴于B点坐标为,
所以,(9分),
∴=(x1-2m,6),
∴.
设N点坐标为(x,y),则y=3,
所以点N在定直线y=3上.
解法二:设M(m,-3),由(1)知抛物线C1方程为x2=12y,①
设,以A为切点的切线l2的方程为②,
联立①②得:,
因为,所以,
所以切线l2的方程为.
令x=0,得切线l2交y轴的B点坐标为,
所以,,
∴=(x1-2m,6),
∴,
设N点坐标为(x,y),则y=3,
所以点N在定直线y=3上.
(2)解法一:依题意设M(m,-3),由(1)知抛物线C1方程为x2=12y,
所以
y
=
x
2
12
y
′
=
x
6
A
(
x
1
,
y
1
)
k
=
x
1
6
所以切线l2的方程为
y
=
1
6
x
1
(
x
-
x
1
)
+
y
1
令x=0,
y
=
-
1
6
x
1
2
+
y
1
=
-
1
6
×
12
y
1
+
y
1
=
-
y
1
(
0
,-
y
1
)
所以
MA
=
(
x
1
-
m
,
y
1
+
3
)
MB
=
(
-
m
,-
y
1
+
3
)
∴
MN
=
MA
+
MB
∴
ON
=
OM
+
MN
=
(
x
1
-
m
,
3
)
设N点坐标为(x,y),则y=3,
所以点N在定直线y=3上.
解法二:设M(m,-3),由(1)知抛物线C1方程为x2=12y,①
设
A
(
x
1
,
y
1
)
y
=
k
(
x
-
x
1
)
+
y
1
联立①②得:
x
2
=
12
[
k
(
x
-
x
1
)
+
1
12
x
2
1
]
因为
Δ
=
144
k
2
-
48
k
x
1
+
4
x
2
1
=
0
k
=
x
1
6
所以切线l2的方程为
y
=
1
6
x
1
(
x
-
x
1
)
+
y
1
令x=0,得切线l2交y轴的B点坐标为
(
0
,-
y
1
)
所以
MA
=
(
x
1
-
m
,
y
1
+
3
)
MB
=
(
-
m
,-
y
1
+
3
)
∴
MN
=
MA
+
MB
∴
ON
=
OM
+
MN
=
(
x
1
-
m
,
3
)
设N点坐标为(x,y),则y=3,
所以点N在定直线y=3上.
【解答】
【点评】
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