设椭圆E：x2a2+y21-a2=1的焦点在x轴上
（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；
（2）设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上．
x
2
a
2
+
y
2
1
-
a
2
=
1
【考点】直线与椭圆的综合．
【答案】（1）；
（2）证明：设P（x0，y0），F1（-c，0），F2（c，0），其中．
由题设可知：x0≠c．则直线F1P的斜率=，直线F2P的斜率=．
故直线F2P的方程为．
令x=0，解得．即点Q．
因此直线F1Q的斜率=．
∵F1Q⊥F1P，∴=．
化为．
联立
，及x0＞0，y0＞0，
解得，．
即点P在定直线x+y=1上．
8
x
2
5
+
8
y
2
3
=
1
（2）证明：设P（x0，y0），F1（-c，0），F2（c，0），其中
c
=
2
a
2
-
1
由题设可知：x0≠c．则直线F1P的斜率
k
F
1
P
y
0
x
0
+
c
k
F
2
P
y
0
x
0
-
c
故直线F2P的方程为
y
=
y
0
x
0
-
c
（
x
-
c
）
令x=0，解得
y
=
c
y
0
c
-
x
0
（
0
，
c
y
0
c
-
x
0
）
因此直线F1Q的斜率
k
F
1
Q
y
0
c
-
x
0
∵F1Q⊥F1P，∴
k
F
1
Q
•
k
F
1
P
y
0
x
0
+
c
•
y
0
c
-
x
0
=
-
1
化为
y
2
0
=
x
2
0
-
（
2
a
2
-
1
）
联立
y 2 0 = x 2 0 - （ 2 a 2 - 1 ） |
x 2 0 a 2 + y 2 0 1 - a 2 = 1 |
解得
x
0
=
a
2
y
0
=
1
-
a
2
即点P在定直线x+y=1上．
【解答】
【点评】
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