已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴的负半轴上，过其上一点P（x0，y0）（x0≠0）的切线方程为y-y0=2ax0（x-x0）（a为常数）．
（1）求抛物线方程；
（2）斜率为k1的直线PA与抛物线的另一交点为A，斜率为k2的直线PB与抛物线的另一交点为B（A、B两点不同），且满足k2+λk1=0（λ≠0，λ=-1），若BM=λMA，求证：线段PM的中点在y轴上；
（3）在（2）的条件下，当λ=1，k1＜0时，若点P的坐标为（1，-1），求：∠PAB为钝角时，点A的纵坐标的取值范围．
BM
MA
【考点】直线与抛物线的综合．
【答案】（1）y=ax2（a＜0）；
（2）证明：直线PA的方程为y-y0=k1（x-x0），
由
，得ax2-k1x+k1x0-y0=0，
∴．
同理，可得．
∵k2+λk1=0，
∴k2=-λk1，．
又=λ（λ≠0，λ≠1），
∴xM-x0=λ（xA-xM），．
∴线段PM的中点在y轴上．
（3）．
（2）证明：直线PA的方程为y-y0=k1（x-x0），
由
y = a x 2 |
y - y 0 = k 1 （ x - x 0 ） |
∴
x
A
+
x
0
=
k
1
a
，
x
A
=
k
1
a
-
x
0
同理，可得
x
B
=
k
2
a
-
x
0
∵k2+λk1=0，
∴k2=-λk1，
x
B
=
-
λ
k
1
a
-
x
0
又
BM
MA
∴xM-x0=λ（xA-xM），
x
M
=
λ
x
A
+
x
B
1
+
λ
∴线段PM的中点在y轴上．
（3）
（
-
∞
，-
1
）
∪
（
-
1
，-
1
4
）
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：17引用：1难度：0.1
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