已知两个定点A（-4，0），B（-1，0），动点P满足|PA|=2|PB|．设动点P的轨迹为曲线E，直线l：y=kx-4．
（1）求曲线E的轨迹方程；
（2）若l与曲线E交于不同的C，D两点，且∠COD=90°（O为坐标原点），求直线l的斜率；
（3）若k=12，Q是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM，QN，切点为M，N，探究：直线MN是否过定点．
k
=
1
2
，
Q
【考点】轨迹方程．
【答案】（1）x2+y2=4；
（2）；
（3）由题意可知：O，Q，M，N四点共圆且在以OQ为直径的圆上，
设，
以OQ为直径的圆的方程为，
即：，
又M，N在曲线E：x2+y2=4上，
可得MN的方程为tx+（t-4）y-4=0，
即，由
得
，
∴直线MN过定点．
（2）
k
=±
7
（3）由题意可知：O，Q，M，N四点共圆且在以OQ为直径的圆上，
设
Q
（
t
，
1
2
t
-
4
）
以OQ为直径的圆的方程为
x
（
x
-
t
）
+
y
（
y
-
1
2
t
+
4
）
=
0
即：
x
2
-
tx
+
y
2
-
（
t
2
-
4
）
y
=
0
又M，N在曲线E：x2+y2=4上，
可得MN的方程为tx+（
1
2
即
（
x
+
y
2
）
t
-
4
（
y
+
1
）
=
0
x + y 2 = 0 |
y + 1 = 0 |
x = 1 2 |
y = - 1 |
∴直线MN过定点
（
1
2
，-
1
）
【解答】
【点评】
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