已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为6．
（I）求a,b；
（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF1|=|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．
x
2
a
2
-
y
2
b
2
6
【考点】直线与圆锥曲线的综合；椭圆的几何特征．
【答案】（I）a=1，b=2．
（II）证明：由（I）知，F1（-3，0），F2（3，0），C的方程为8x2-y2=8 ①
由题意，可设l的方程为y=k（x-3），|k|＜2代入①并化简得（k2-8）x2-6k2x+9k2+8=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1≤-1，x2≥1，x1+x2=，，于是
|AF1|= =-（3x1+1），
|BF1|= =3x2+1，
|AF1|=|BF1|得-（3x1+1）=3x2+1，即
故=，解得，从而=-
由于|AF2|= =1-3x1，
|BF2|= =3x2-1，
故|AB|=|AF2|-|BF2|=2-3（x1+x2）=4，|AF2||BF2|=3（x1+x2）-9x1x2-1=16
因而|AF2||BF2|=|AB|2，所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．
2
（II）证明：由（I）知，F1（-3，0），F2（3，0），C的方程为8x2-y2=8 ①
由题意，可设l的方程为y=k（x-3），|k|＜2
2
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1≤-1，x2≥1，x1+x2=
6
k
2
k
2
-
8
x
1
x
2
=
9
k
2
+
8
k
2
-
8
|AF1|=
（
x
1
+
3
）
2
+
y
1
2
=
（
x
1
+
3
）
2
+
8
x
1
2
-
8
|BF1|=
（
x
2
+
3
）
2
+
y
2
2
=
（
x
2
+
3
）
2
+
8
x
2
2
-
8
|AF1|=|BF1|得-（3x1+1）=3x2+1，即
x
1
+
x
2
=
-
2
3
故
6
k
2
k
2
-
8
-
2
3
k
2
=
4
5
x
1
x
2
=
9
k
2
+
8
k
2
-
8
19
9
由于|AF2|=
（
x
1
-
3
）
2
+
y
1
2
=
（
x
1
-
3
）
2
+
8
x
1
2
-
8
|BF2|=
（
x
2
-
3
）
2
+
y
2
2
=
（
x
2
-
3
）
2
+
8
x
2
2
-
8
故|AB|=|AF2|-|BF2|=2-3（x1+x2）=4，|AF2||BF2|=3（x1+x2）-9x1x2-1=16
因而|AF2||BF2|=|AB|2，所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：2004引用：12难度：0.1
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（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O为坐标原点．E：x2a2-y2b2=1
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