综合探究：探索等腰三角形中相等的线段
问题情境：
数学活动课上，老师提出了一个问题：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？同学们就这个问题展开探究．
问题初探：
（1）希望小组的同学们根据题意画出了相应的图形，如图1．在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F．经过合作，该小组的同学得出的结论是DE=DF．并且展示了他们的证法如下：
证明：如图1，
∵DE⊥AB，DF⊥AC．
∴∠DEB=∠DFC=90°．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C（依据1）．
∵D是BC的中点，
∴BD=CD．
在△BDE和△CDF中，
∠DEB=∠DFC ∠B=∠C BD=CD
，
∴△BDE≌△CDF（依据2）．
∴DE=DF．
①请写出依据1和依据2的内容：
依据1：等边对等角（答案不唯一）等边对等角（答案不唯一）．
依据2：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（答案不唯一）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（答案不唯一）．
②请你应用图2写出一种不同于希望小组的证法．
问题再探：
（2）未来小组的同学经过探究又有新的发现，如果在等腰三角形ABC中，作腰AB上的高CG，如图3．则CG与DE有确定的数量关系．请你直接写出这个数量关系为CG=2DECG=2DE．
类比探究：
（3）奋斗小组的同学认真研究过后，发现了以下两个正确结论：①在图4中，若DE，DF分别为△ABD和△ACD的中线，那么DE=DF仍然成立；②在图5中，若DE，DF分别为△ABD和△ACD的角平分线，那么DE=DF仍然成立．请你选择其中一个结论，写出证明过程．
∠ DEB =∠ DFC |
∠ B =∠ C |
BD = CD |
【考点】三角形综合题．
【答案】等边对等角（答案不唯一）；两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（答案不唯一）；CG=2DE
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：388引用：4难度：0.2
相似题
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1．综合与实践：
问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：
如图1，直线m∥n,点A、B在直线m上（点B在点A的下方），过点A作AC⊥n于点C，连接BC，以C为圆心CA为半径作弧，交直线n于点D，交BC于点E．求证：∠ABC=2∠CDE．
独立思考：（1）请解答王老师提出的问题．
实践探究：（2）DE与AC交于点P，在原有问题条件不变的情况下，王老师提出新问题，请你解答．
“猜想出AB、BC、PC的数量关系，并证明．”
问题解决：（3）过点D作DQ∥BC交m于点Q（点Q在点A上方），数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当AQ=BE时，线段BE和AB有一定的数量关系，该小组提出下面的问题，请你解答．
“如图2，当AQ=BE时，求的值．”DPAB发布：2025/6/14 20:0:1组卷：171引用：2难度：0.1 -
2．如图，已知△ABC中，AB=AC=6cm,∠B=∠C，BC=4cm,点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CPQ是否全等，请说明理由．
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为 cm/s时，在某一时刻也能够使△BPD与△CPQ全等．
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都按逆时针方向沿△ABC的三边运动．求经过多少秒后，点P与点Q第一次相遇，并写出第一次相遇点在△ABC的哪条边上？发布：2025/6/14 20:0:1组卷：112引用：2难度：0.3 -
3．如图1，在△ABC中，∠A=40°，外角平分线BN和CN相交于点N，求∠BNC的度数．
（1）请你先完成这个问题的解答．小明在完成以上问题的解答后，作如下变式探究：
（2）如图2，在△ABC中，∠A=80°，若∠CBN=∠CBE，∠BCM=38∠BCD，BN与CM交于点O，求∠BOC的度数．38
（3）如图3，在△ABC中，∠A=n°，若∠CBN=∠CBE，∠BCM=34∠BCD，当射线CM与BN相交时，n的取值范围是什么？试说明理由．34发布：2025/6/14 20:0:1组卷：257引用：2难度：0.4
