如图1，扇形MON的半径为r,圆心角∠MON=90°，点A是ˆMN上的动点（点A不与点M、N重合），点B、C分别在半径OM、ON上，四边形ABOC为矩形，点G在线段BC上，且CG=2BG．
（1）求证：CG=23r；
（2）如图2，以A为顶点、AC为一边，作∠CAP=∠BCO，射线AP交射线ON于点P，联结AN、OG．
①当∠BGO=∠ANP时，求△OBG与△ANP的面积之比；
②把△OGB沿直线OG翻折后记作△OGB′，当OB′⊥BC时，求∠P的正切值．
ˆ
MN
CG
=
2
3
r
【考点】圆的综合题．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）①=；
②∠P的正切值是．
（2）①
S
△
OBG
S
△
ANP
4
9
②∠P的正切值是
2
5
5
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：532引用：1难度：0.1
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1．问题提出：
（1）我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，标志着中国古代的数学成就．小林用边长为10的正方形ABCD制作了一个“弦图”：如图①，在正方形ABCD内取一点E，使得∠BEC=90°，作DF⊥CE，AG⊥DF，垂足分别为F、G，延长BE交AG于点H．若EH=2，求tan∠BCE；
问题解决：
（2）如图②，四边形ABCD是公园中一块空地，AB=BC=50米，AD=CD，∠ABC=90°，∠D=60°，空地中有一段半径为50米的弧形道路（即），现准备在ˆAC上找一点P，将弧形道路改造为三条直路（即PA、PB、PC），并要求∠BPC=90°，三条直路将空地分割为△ABP、△BCP和四边形APCD三个区域，用来种植不同的花草．ˆAC
①求∠APC的度数；
②求四边形APCD的面积．
发布：2025/5/23 4:30:1组卷：429引用：1难度：0.3 -
2．如图，AB是⊙O的直径，C、G是⊙O上两点，且，过点C的直线CD⊥BG于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F．ˆAC=ˆCG
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若，求∠E的度数．OFFD=23
（3）连接AD，在（2）的条件下，若CD=，求AD的长．3发布：2025/5/23 3:0:1组卷：286引用：1难度：0.9 -
3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3．点O是边AB上的一个动点，以O为圆心作半圆，与边AC相切于点D，交线段OB于点E，过点E作EG⊥DE，交射线AC于点G，交射线BC于点F．
（1）求证：∠ADE=∠AEG；
（2）设OA=x,CF=y,求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）BM为半圆O的切线，M为切点，当BM∥DE时，求OA的长．发布：2025/5/23 3:30:1组卷：431引用：2难度：0.3
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