已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率e=32且圆x2+y2=2过椭圆C的上、下顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l的斜率为12，且直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点P关于原点的对称点为E，点A（-2，1）是椭圆C上一点，若直线AE与AQ的斜率分别为kAE，kAQ，证明：kAE+kAQ=0．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
3
2
1
2
【考点】直线与椭圆的综合．
【答案】（1）．
（2）证明：由于直线l的斜率为，可设直线l的方程为，
代入椭圆方程x2+4y2=8，可得
x2+2tx+2t2-4=0．
由于直线l交椭圆C与P，Q两点，
所以Δ=4t2-4（2t2-4）＞0，
整理解得-2＜t＜2．
设点P（x1，y1），Q（x2，y2），由于点P与点E关于原点对称，
故点E（-x1，-y1）．
于是有x1+x2=-2t，．
若直线AE与AQ的斜率分别为kAE，kAQ，由于点A（-2，1），
则=，
又因为，，
于是有（2-x1）（y2-1）+（2+x2）（y1+1）
=2（y2-y1）-（x1y2+x2y1）+x1-x2+4
=x2-x1-（x1x2+tx1+tx2）+x1-x2-4
=-x1x2-t（x1+x2）-4
=-（2t2-4）-t（-2t）-4=0．
故直线AE与AQ的斜率之和为0，即kAE+kAQ=0．
x
2
8
+
y
2
2
=
1
（2）证明：由于直线l的斜率为
1
2
y
=
1
2
x
+
t
代入椭圆方程x2+4y2=8，可得
x2+2tx+2t2-4=0．
由于直线l交椭圆C与P，Q两点，
所以Δ=4t2-4（2t2-4）＞0，
整理解得-2＜t＜2．
设点P（x1，y1），Q（x2，y2），由于点P与点E关于原点对称，
故点E（-x1，-y1）．
于是有x1+x2=-2t，
x
1
x
2
=
2
t
2
-
4
若直线AE与AQ的斜率分别为kAE，kAQ，由于点A（-2，1），
则
k
AE
+
k
AQ
=
y
2
-
1
x
2
+
2
+
-
y
1
-
1
-
x
1
+
2
（
2
-
x
1
）
（
y
2
-
1
）
+
（
2
+
x
2
）
（
y
1
+
1
）
（
2
+
x
2
）
（
2
-
x
1
）
又因为
y
1
=
1
2
x
1
+
t
y
2
=
1
2
x
2
+
t
于是有（2-x1）（y2-1）+（2+x2）（y1+1）
=2（y2-y1）-（x1y2+x2y1）+x1-x2+4
=x2-x1-（x1x2+tx1+tx2）+x1-x2-4
=-x1x2-t（x1+x2）-4
=-（2t2-4）-t（-2t）-4=0．
故直线AE与AQ的斜率之和为0，即kAE+kAQ=0．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：162引用：9难度：0.4
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