如图，已知双曲线C1：x2a2-y24=1（a＞0），C1的左右顶点恰是椭圆C2的左右焦点F1，F2，C1的渐近线方程为y=±x,C2的离心率为12，分别过椭圆C2的左右焦点F1，F2的弦PQ，MN所在直线交于双曲线C1上的一点D．
（1）求C1，C2的标准方程；
（2）求证：kDF1•kDF2为定值；
（3）求证：1|PQ|+1|MN|为定值．
x
2
a
2
-
y
2
4
1
2
k
D
F
1
•
k
D
F
2
1
|
PQ
|
+
1
|
MN
|
【答案】（1）双曲线C1的标准方程为-=1，椭圆C2的标准方程为+=1．
（2）证明见解答．
（3）证明见解答．
x
2
4
y
2
4
x
2
16
y
2
12
（2）证明见解答．
（3）证明见解答．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：90引用：1难度：0.5
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1．已知双曲线C：
的左焦点为F，右顶点为A，渐近线方程为y=±x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）x,F到渐近线的距离为3．3
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）若直线l过F，且与C交于P，Q两点（异于C的两个顶点），直线x=t与直线AP，AQ的交点分别为M，N．是否存在实数t,使得|+FM|=|FN-FM|？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．FN发布：2024/8/6 8:0:9组卷：167引用：8难度：0.4 -
2．已知双曲线
的左、右顶点分别为A、B，渐近线方程为C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0），焦点到渐近线距离为1，直线l：y=kx+m与C左右两支分别交于P，Q，且点y=±12x在双曲线C上．记△APQ和△BPQ面积分别为S1，S2，AP，BQ的斜率分别为k1，k2．（23m3，23k3）
（1）求双曲线C的方程；
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