已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为32，A（a,0），B（0，b），O（0，0），△OAB的面积为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N．求证：|AN|•|BM|为定值．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
3
2
【答案】（1）；
（2）证法一：设椭圆上点P（x0，y0），
可得+4=16，
当x0=0时，可得P（0，-2），
即有M（0，-2），N（0，0），
可得|AN|•|BM|为定值16；
直线PA：y=（x-4），令x=0，可得y=-，
则|BM|=|2+|；
直线PB：y=x+2，令y=0，可得x=-，
则|AN|=|4+|．
可得|AN|•|BM|=|4+|•|2+|，
|AN|•|BM|=|4+|•|2+|=||=||=||=16，
即有|AN|•|BM|为定值16．
证法二：设P（4cosθ，2sinθ），（0≤θ＜2π），
直线PA：y=（x-4），令x=0，可得y=-，
则|BM|=2||；
直线PB：y=x+2，令y=0，可得x=-，
则|AN|=4||．
即有|AN|•|BM|=2||•4||，
=8||，
=8||=16．
则|AN|•|BM|为定值16．
x
2
16
+
y
2
4
=
1
（2）证法一：设椭圆上点P（x0，y0），
可得
x
2
0
y
2
0
当x0=0时，可得P（0，-2），
即有M（0，-2），N（0，0），
可得|AN|•|BM|为定值16；
直线PA：y=
y
0
x
0
-
4
4
y
0
x
0
-
4
则|BM|=|2+
4
y
0
x
0
-
4
直线PB：y=
y
0
-
2
x
0
2
x
0
y
0
-
2
则|AN|=|4+
2
x
0
y
0
-
2
可得|AN|•|BM|=|4+
2
x
0
y
0
-
2
4
y
0
x
0
-
4
|AN|•|BM|=|4+
2
x
0
y
0
-
2
4
y
0
x
0
-
4
（
2
x
0
+
4
y
0
-
8
）
2
（
x
0
-
4
）
（
y
0
-
2
）
4
x
2
0
+
16
y
2
0
+
64
-
32
x
0
+
16
x
0
y
0
-
64
y
0
x
0
y
0
-
2
x
0
-
4
y
0
+
8
64
+
64
-
32
x
0
+
16
x
0
y
0
-
64
y
0
x
0
y
0
-
2
x
0
-
4
y
0
+
8
即有|AN|•|BM|为定值16．
证法二：设P（4cosθ，2sinθ），（0≤θ＜2π），
直线PA：y=
2
sinθ
4
cosθ
-
4
8
sinθ
4
cosθ
-
4
则|BM|=2|
sinθ
+
cosθ
-
1
1
-
cosθ
直线PB：y=
2
sinθ
-
2
4
cosθ
4
cosθ
sinθ
-
1
则|AN|=4|
sinθ
+
cosθ
-
1
1
-
sinθ
即有|AN|•|BM|=2|
sinθ
+
cosθ
-
1
1
-
cosθ
sinθ
+
cosθ
-
1
1
-
sinθ
=8|
si
n
2
θ
+
co
s
2
θ
+
1
+
2
sinθcosθ
-
2
sinθ
-
2
cosθ
1
+
sinθcosθ
-
sinθ
-
cosθ
=8|
2
+
2
sinθcosθ
-
2
sinθ
-
2
cosθ
1
+
sinθcosθ
-
2
sinθ
-
cosθ
则|AN|•|BM|为定值16．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：189引用：9难度：0.3
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